Matematyka.pl

Znajdz wszystkie liczby naturalne a,b takie, ze \(\displaystyle{ \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}}\) też jest liczbą naturalną. Powodzenia.

ja za a+1=x, b+1=y, załóżmy że NWD(x,y)=1

i jest:

\(\displaystyle{ (1) \frac{x}{y}+ \frac{y}{x}-( \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} )}\)


załóżmy że x<y i x nie dzieli y bo jeśli x=y łatwo zauważyć że wtedy musi być a=b=1 i całośc wychodzi 1

niech

\(\displaystyle{ y= \alpha x+r, r \neq 0}\)

podstawmy to do (1) i otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+ \alpha + \frac{r}{x}- \frac{1}{x}- \frac{1}{y}= \alpha + \frac{x-1}{y}+ \frac{r-1}{x}}\)

zajmiemy się teraz tylko częścią niecałkowitą czyli:

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{y}+ \frac{r-1}{x} = \frac{ x(x-1)+y(r-1)}{xy}< \frac{x}{y} +1}\)

znaczy żeby to było całokowite lewa strona może wynosić tylko 1 czyli:

\(\displaystyle{ \frac{ x(x-1)+y(r-1)}{xy}=1}\)

lub:

\(\displaystyle{ x^{2}-x+yr-y=xy}\)

widać że:
y|xx-x

lub:

\(\displaystyle{ y= \frac{x^{2}-x}{k}= \frac{x(x-1)}{k},k=x-r+1,NWD(x,x-1)=1}\)

k<=x, widać z ostatniego że k musi być równe x ale sprzecznoś bo y wtedy=x-1 a y>x jest

a jeśli k <>x to NWD(x,y)>1 co też sprzeczność.
czyli x jest podzielne przez y znaczy że:

\(\displaystyle{ y= \alpha x, r=0}\)

po podstawieniu do (1)

MAMY:

\(\displaystyle{ \alpha + \frac{x}{ \alpha x}- \frac{1}{x}- \frac{1}{ \alpha x}= \alpha + \frac{1}{ \alpha }- \frac{1}{x}- \frac{1}{ \alpha x}= \alpha + \frac{x- \alpha -1}{ \alpha x}}\)

ten ostatni ułamek może być równy 0 lub 1 co najwyżej

czyli:

(a) \(\displaystyle{ x- \alpha +1=0}\)

lub:

(b) \(\displaystyle{ x- \alpha +1= \alpha x}\)

z (a)

\(\displaystyle{ x= \alpha +1}\)

\(\displaystyle{ y= \alpha ( \alpha +1)}\)

z (b)

\(\displaystyle{ x=-(1+ \frac{2}{ \alpha -1})}\)

z (b) widać , że alfa=-1,0,2,3
odpowiednio:
x=0,1,-3,-2
y=0,0,-6,-6

gwoli ścisłości powinno się pobawić przypadkiem gdy: NWD(x,y)>1