Matematyka.pl

że....

\(\displaystyle{ e^{x}\geqslant1+x}\) dla \(\displaystyle{ x\in R}\)

Bardzo dziekuje za pomoc!!

Funkcja \(\displaystyle{ e^x}\) ma drugą pochodną ciągła, równą \(\displaystyle{ e^x}\).
\(\displaystyle{ \forall\,x\in\mathbb{R}\;\:e^x>0}\) - funkja jest wypukła.
Wystarczy zauważyć, że prosta \(\displaystyle{ y=x+1}\) jest styczną do krzywej \(\displaystyle{ e^x}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0=0}\), leży więc zawsze 'pod nią'.

Osobiście zastosowałbym trochę inną metodę, bo wykres raczej nie może być dowodem. Przenieśmy e^x na prawą stronę. Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x)=1+x-e^x}\) Teraz musimy udowodnić, że funkcja jest mniejsza bądź równa zero dla R. Liczę pochodną funkcji i zauważam, że w zerze istnieje maksimum tej funkcji. Wynosi ono 0. Koniec dowodu .