że....
\(\displaystyle{ e^{x}\geqslant1+x}\) dla \(\displaystyle{ x\in R}\)
Bardzo dziekuje za pomoc!!
Wykazać że.....
-
jasny
- Użytkownik
- Posty: 832
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Wykazać że.....
Funkcja \(\displaystyle{ e^x}\) ma drugą pochodną ciągła, równą \(\displaystyle{ e^x}\).
\(\displaystyle{ \forall\,x\in\mathbb{R}\;\:e^x>0}\) - funkja jest wypukła.
Wystarczy zauważyć, że prosta \(\displaystyle{ y=x+1}\) jest styczną do krzywej \(\displaystyle{ e^x}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0=0}\), leży więc zawsze 'pod nią'.
\(\displaystyle{ \forall\,x\in\mathbb{R}\;\:e^x>0}\) - funkja jest wypukła.
Wystarczy zauważyć, że prosta \(\displaystyle{ y=x+1}\) jest styczną do krzywej \(\displaystyle{ e^x}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0=0}\), leży więc zawsze 'pod nią'.
-
Barca
- Użytkownik
- Posty: 41
- Rejestracja: 11 sie 2006, o 22:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Polski
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
Wykazać że.....
Osobiście zastosowałbym trochę inną metodę, bo wykres raczej nie może być dowodem. Przenieśmy e^x na prawą stronę. Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x)=1+x-e^x}\) Teraz musimy udowodnić, że funkcja jest mniejsza bądź równa zero dla R. Liczę pochodną funkcji i zauważam, że w zerze istnieje maksimum tej funkcji. Wynosi ono 0. Koniec dowodu .