Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \begin{cases} d_{1}=1 \\ d_{n+1}= \sqrt{6+d_{n} } \end{cases}}\)

Jak udowodnić, że wyżej wymieniony ciąg jest ograniczony oraz monotoniczny, czyli zbieżny?
Z góry dziękuję za pomoc.

Indukcyjnie.
Pokaże tylko wynikanie \(\displaystyle{ d_n < d_{n+1} \Rightarrow d_{n+1} < d_{n+2}}\). Mamy
\(\displaystyle{ d_{n+1}=\sqrt{6+d_{n} }<\sqrt{6+d_{n+1}}=d_{n+2}}\), więc jest rosnący.
Pokażemy, żę ograniczony z góry liczbą np. 3:
założenie: \(\displaystyle{ d_n<3}\) i mamy w kolejnym kroku indukcyjnym:
\(\displaystyle{ d_{n+1}=\sqrt{6+d_{n} }<\sqrt{6+3}=3}\).
Więc możemy w drugiej nierówności przejść do granicy przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\).