\(\displaystyle{ \begin{cases} d_{1}=1 \\ d_{n+1}= \sqrt{6+d_{n} } \end{cases}}\)
Jak udowodnić, że wyżej wymieniony ciąg jest ograniczony oraz monotoniczny, czyli zbieżny?
Z góry dziękuję za pomoc.
Ciąg określony wzorem rekurencyjnym
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2951
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 500 razy
Ciąg określony wzorem rekurencyjnym
Indukcyjnie.
Pokaże tylko wynikanie \(\displaystyle{ d_n < d_{n+1} \Rightarrow d_{n+1} < d_{n+2}}\). Mamy
\(\displaystyle{ d_{n+1}=\sqrt{6+d_{n} }<\sqrt{6+d_{n+1}}=d_{n+2}}\), więc jest rosnący.
Pokażemy, żę ograniczony z góry liczbą np. 3:
założenie: \(\displaystyle{ d_n<3}\) i mamy w kolejnym kroku indukcyjnym:
\(\displaystyle{ d_{n+1}=\sqrt{6+d_{n} }<\sqrt{6+3}=3}\).
Więc możemy w drugiej nierówności przejść do granicy przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\).
Pokaże tylko wynikanie \(\displaystyle{ d_n < d_{n+1} \Rightarrow d_{n+1} < d_{n+2}}\). Mamy
\(\displaystyle{ d_{n+1}=\sqrt{6+d_{n} }<\sqrt{6+d_{n+1}}=d_{n+2}}\), więc jest rosnący.
Pokażemy, żę ograniczony z góry liczbą np. 3:
założenie: \(\displaystyle{ d_n<3}\) i mamy w kolejnym kroku indukcyjnym:
\(\displaystyle{ d_{n+1}=\sqrt{6+d_{n} }<\sqrt{6+3}=3}\).
Więc możemy w drugiej nierówności przejść do granicy przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\).