Matematyka.pl

Mam zadanie:
Na ile najwięcej kawałków można podzielić pizzę przy pomocy \(\displaystyle{ n}\) cięć? Znaleźć rekurencyjną zależność oraz ogólny wzór.
Gdyby ktoś był tak miły i dał chociaż podpowiedź jak ugryźć to zadanie? Wystarczyłaby nawet rekurencyjna zależność, bo ogólny wzór potrafię z czegoś takiego wyprowadzić.

\(\displaystyle{ n}\) cięć to \(\displaystyle{ 2n}\) kawałków (tniemy przez całą pizzę oczywiście).

kamil13151, źle.

Zakładam, że pizzę mogę ciąć w nieskończoność. Niech \(\displaystyle{ a_{n}}\) będzie ciągiem, który nam będzie mówił, na ile maksymalnie kawałków możemy podzielić pizzę poprzez \(\displaystyle{ n}\) cięć.

Łatwo widać, że \(\displaystyle{ a_{1}=2}\), \(\displaystyle{ a_{2}=4}\), \(\displaystyle{ a_{3}=7}\) i tak dalej.

Algorytm "zachłannego" cięcia jest taki:

Żadne cięcie, które dokonamy nie może być równoległe do żadnego innego. Po \(\displaystyle{ n}\) cięciach, na pizzy będzie znajdowało się \(\displaystyle{ n}\) prostych parami nierównoległych i \(\displaystyle{ a_{n}}\) obszarów. Nasze \(\displaystyle{ n+1}\) cięcie będzie przechodziło przez wszystkie \(\displaystyle{ n}\) wcześniejszych prostych. Skoro cięcie wyznaczy maksymalną liczbę możliwych obszarów, to przejdzie przez \(\displaystyle{ n+1}\) obszarów wyznaczonych przez poprzednie cięcia. Skoro je przetnie, to je podwoi, czyli dostaniemy ostatecznie relację \(\displaystyle{ a_{n+1} = a_{n} + n + 1}\)

Czyli rekurencja jest taka:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{n+1} = a_{n} + n + 1 \end{cases}}\)

Wzór ogólny ciągu już łatwo z tego dostać.

Marcinek665, narysowałem sobie 3 cięcia i mam 6 kawałków, e?

kamil13151:

Z reguły tniemy pizzę przez środek, hehe

Ale żeby otrzymać maksymalną ilość obszarów, trzeba porzucić pierwotne instynkty

I wszystko jasne dziękuje bardzo za odpowiedź