Matematyka.pl

\(\displaystyle{ a+b \mid ab+1 \wedge a-b \mid ab-1}\)
Pierwszy odruch to wymnożyć:
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2} \mid a^{2}b^{2} -1}\)
No i co z z tego? Raczej niewiele to daje. Kombinujemy dalej.
hmm \(\displaystyle{ ab+1}\), to takie fajne wyrażenie. Czemu? fani zwijania zrobią tak:
\(\displaystyle{ a+b \mid ab+1 +a+b=\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)
No a teraz wypadałoby, żeby podobną sztuczkę dało się zrobić z drugą podzielnością. Da się:
\(\displaystyle{ a-b \mid ab-1+a-b=\left(a-1\right)\left(b+1\right)}\)
No i co? Znów mnożenie? Jasne!
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2} \mid a^{2}-b^{2}+a^{2}b^{2}-1+2a^{2}b-2b \Rightarrow a^{2}-b^{2} \mid 2a^{2}b-2b \Rightarrow a^{2}-b^{2} \mid 2a^{2}b^{2}-2b^{2} \Rightarrow a^{2}-b^{2} \mid 2\left(a^{2}b^{2}-1\right)+2 -2b^{2} \Rightarrow a^{2}-b^{2} \mid 2- 2b^{2} \Rightarrow a^{2}-b^{2} \mid 2b^{2}-2}\)
A ponieważ \(\displaystyle{ b >1}\) to:
\(\displaystyle{ 2b^{2}-2 \ge a^{2} -b^{2} \Rightarrow 3b^{2}>a^{2} \Leftrightarrow b\sqrt{3}>a}\)
Jak widzimy końcówka jest identyczna z wzorcówką, ale może to wystarczy.