Matematyka.pl

Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) wielomian \(\displaystyle{ x^{4n-2}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^{2}+1}\)

Popraw ten wielomian.

Jeżeli wielomian jest podzielny przed \(\displaystyle{ x^2+1}\) to jest też podzielny przez \(\displaystyle{ x-i \text{ i }x+i}\).
Wystarczy sprawdzić czy wielomian \(\displaystyle{ x^{4n-2}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-i \text{ i }x+i}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)

Można też indukcyjnie.

Można też zapisać \(\displaystyle{ \left(x^2 \right)^{2n-1}+1^{2n-1}}\) i zastosować wzór na \(\displaystyle{ a^{2k+1}+b^{2k+1}}\)

a czy mozecie mi to wyjasnic krok po kroku??

To zależy którym sposobem chcesz robić.
W moim wystarczy zauważyć, że jedyne pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ x^2+1}\) należą do zbioru \(\displaystyle{ \{-i,i\}}\).
Wystarczy więc sprawdzić, czy dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) wyrażenia
\(\displaystyle{ i^{4n-2}+1 \text{ i } (- i)^{4n-2}+1}\) są równe zero.

Wątpię, żeby autor znał liczby zespolone, przeczytałem trochę i chyba wiem jak to trzeba by było dokończyć, skorzystamy z tego, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\).

Sprawdźmy czy \(\displaystyle{ i^{4n-2}+1=0}\)

\(\displaystyle{ i ^{2(2n-1)}+1=0 \\
(-1) ^{2n-1} +1=0}\)

\(\displaystyle{ 2n-1}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\) to kolejne liczby nieparzyste, także \(\displaystyle{ (-1) ^{2n-1}=-1}\). Mamy więc \(\displaystyle{ -1+1=0}\) co jest prawdą.

Teraz pozostało nam do udowodnienia \(\displaystyle{ (-i)^{4n-2}+1=0}\)
Przekształcamy na: \(\displaystyle{ (-1)^{4n-2} \cdot i ^{2(2n-1)}+1=0}\) co nam daje: \(\displaystyle{ 1 \cdot (-1)+1=0}\) co też jest prawdziwe.

Także wielomian \(\displaystyle{ x^{4n-2}+1}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^{2}+1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\).

Dobrze?

Tak. Można też trochę inaczej.
Wiadomo, że \(\displaystyle{ (-i)^2=-1}\), zatem:
\(\displaystyle{ (-i)^{4n-2}+1= \frac{(-i)^{2(2n)}}{(-i)^2}+1= \frac{1}{-1}+1=0}\)

Dzięki, a jak by to indukcyjnie zrobić? Na początku zakładamy, że \(\displaystyle{ x^{4n-2}+1}\) jest postaci \(\displaystyle{ t(x^2+1)}\) ? Potem dla \(\displaystyle{ n+1}\) udowadniamy korzystając z założenia?

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) działa, zakładamy, że działa dla pewnego n, czyli \(\displaystyle{ x^2+1 | x^{4n-2} + 1}\), zostaje dowieść, że \(\displaystyle{ x^2+1 | x^{4n+2}+1}\), ale:

\(\displaystyle{ x^{4n+2}+1 = x^4(x^{4n-2}+1)+1-x^4 = x^4(x^{4n-2}+1)-(x^2-1)(x^2+1)}\)

1 składnik z założenia indukcyjnego jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2+1}\), drugi jak widać również się dzieli.

Dzięki

frej pisze:Można też zapisać \(\displaystyle{ \left(x^2 \right)^{2n-1}+1^{2n-1}}\) i zastosować wzór na \(\displaystyle{ a^{2k+1}+b^{2k+1}}\)

Ten wzór masz na samym dole: ... %C5%BCenia

no ok, powoli to ogarnaim, tylko czy mozecie mi to wytlumaczyc na poziomie II kl LO, gdyz jestesmy teraz przy wielomianach, tw.bezouta, dzielenie wielomianow, rownania wielomianowe itp., i chodzi mi o to abym mogl to jakos wytlumaczyc przy tablicy, i aby nie bylo niestworzonych rzeczy,


z gory dziekuje;)

Ogólnie te zadanie jest dla poziomu rozszerzonego (albo i wyżej ), a indukcja jest w 1 LO także powinieneś to umieć. Na sposób ze zespolonymi nie patrz, no chyba, że chcesz się wykazać, a zaraz sprawić zdziwienie Sposób frej'a jest prosty, wystarczy wstawić do tego wzoru i już jest wykazane.

doobra wielke dzieki,bo liczb zespolonych jeszcze nie mielismy;p

a czy moglbys mi to przedstawic krok po kroku sposobem frej'a??