Całka krzywoliniowa skierowana
: 6 wrz 2011, o 16:46
Witam.
Proszę o pomoc z zadaniem o następującej treści. Zgodnie z TW Greena wynik wychodzi dobry (0), jednak nie mogę dojść do tego samego poprzez podejście standardowe. Proszę o weryfikację i podpowiedź, gdzie znajduje się błąd.
Treść zadania:
\(\displaystyle{ \int\limits_{L}^{}ydx + (x+y)dy}\), gdzie L jest krzywą zamkniętą składającą się z łuku paraboli \(\displaystyle{ y=x^2}\) oraz prostej \(\displaystyle{ y=4}\)
Najpierw wyznaczyłem miejsca przecięcia funkcji (-2 i 2), następnie sparametryzowałem osobno dwie krzywe - najpierw łuk paraboli, następnie odcinek prostej:
dla łuku paraboli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t, \ \ \ \ \ \ x'=1\\y=t^2, \ \ \ \ \ \ y'=2t\\-2<t<2\end{cases}}\)
dla odcinka prostej
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t, \ \ \ \ \ \ x'=1\\y=4, \ \ \ \ \ \ y'=0\\-2<t<2\end{cases}}\)
więc całka będzie sumą dwóch całek (po łuku paraboli i po odcinku prostej)
\(\displaystyle{ \int\limits_{-2}^{2}(t^2 \cdot 1 + (t+t^2) \cdot 2t)dt + \int\limits_{-2}^{2}(4 \cdot 1 + (t+4) \cdot 0)dt = \int\limits_{-2}^{2}(3t^2+2t^3)dt + \int\limits_{-2}^{2}(4)dt = 32}\)
Jak widać, wynik wyszedł mi inny, niż stosując TW Greena - w którym wyrażenie podcałkowe zeruje się - i zeruje się również wynik.
Proszę o pomoc z zadaniem o następującej treści. Zgodnie z TW Greena wynik wychodzi dobry (0), jednak nie mogę dojść do tego samego poprzez podejście standardowe. Proszę o weryfikację i podpowiedź, gdzie znajduje się błąd.
Treść zadania:
\(\displaystyle{ \int\limits_{L}^{}ydx + (x+y)dy}\), gdzie L jest krzywą zamkniętą składającą się z łuku paraboli \(\displaystyle{ y=x^2}\) oraz prostej \(\displaystyle{ y=4}\)
Najpierw wyznaczyłem miejsca przecięcia funkcji (-2 i 2), następnie sparametryzowałem osobno dwie krzywe - najpierw łuk paraboli, następnie odcinek prostej:
dla łuku paraboli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t, \ \ \ \ \ \ x'=1\\y=t^2, \ \ \ \ \ \ y'=2t\\-2<t<2\end{cases}}\)
dla odcinka prostej
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t, \ \ \ \ \ \ x'=1\\y=4, \ \ \ \ \ \ y'=0\\-2<t<2\end{cases}}\)
więc całka będzie sumą dwóch całek (po łuku paraboli i po odcinku prostej)
\(\displaystyle{ \int\limits_{-2}^{2}(t^2 \cdot 1 + (t+t^2) \cdot 2t)dt + \int\limits_{-2}^{2}(4 \cdot 1 + (t+4) \cdot 0)dt = \int\limits_{-2}^{2}(3t^2+2t^3)dt + \int\limits_{-2}^{2}(4)dt = 32}\)
Jak widać, wynik wyszedł mi inny, niż stosując TW Greena - w którym wyrażenie podcałkowe zeruje się - i zeruje się również wynik.