Całka krzywoliniowa skierowana

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
P_J
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 6 wrz 2011, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: P_J » 6 wrz 2011, o 16:46

Witam.
Proszę o pomoc z zadaniem o następującej treści. Zgodnie z TW Greena wynik wychodzi dobry (0), jednak nie mogę dojść do tego samego poprzez podejście standardowe. Proszę o weryfikację i podpowiedź, gdzie znajduje się błąd.

Treść zadania:
\(\displaystyle{ \int\limits_{L}^{}ydx + (x+y)dy}\), gdzie L jest krzywą zamkniętą składającą się z łuku paraboli \(\displaystyle{ y=x^2}\) oraz prostej \(\displaystyle{ y=4}\)

Najpierw wyznaczyłem miejsca przecięcia funkcji (-2 i 2), następnie sparametryzowałem osobno dwie krzywe - najpierw łuk paraboli, następnie odcinek prostej:

dla łuku paraboli

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t, \ \ \ \ \ \ x'=1\\y=t^2, \ \ \ \ \ \ y'=2t\\-2<t<2\end{cases}}\)

dla odcinka prostej

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t, \ \ \ \ \ \ x'=1\\y=4, \ \ \ \ \ \ y'=0\\-2<t<2\end{cases}}\)

więc całka będzie sumą dwóch całek (po łuku paraboli i po odcinku prostej)
\(\displaystyle{ \int\limits_{-2}^{2}(t^2 \cdot 1 + (t+t^2) \cdot 2t)dt + \int\limits_{-2}^{2}(4 \cdot 1 + (t+4) \cdot 0)dt = \int\limits_{-2}^{2}(3t^2+2t^3)dt + \int\limits_{-2}^{2}(4)dt = 32}\)

Jak widać, wynik wyszedł mi inny, niż stosując TW Greena - w którym wyrażenie podcałkowe zeruje się - i zeruje się również wynik.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: aalmond » 6 wrz 2011, o 16:53

A kierunek?

P_J
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 6 wrz 2011, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: P_J » 6 wrz 2011, o 17:18

a, rzeczywiście pominąłem tę informację. Orientacja dodatnia

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: aalmond » 6 wrz 2011, o 17:21

P_J pisze:a, rzeczywiście pominąłem tę informację. Orientacja dodatnia
Nie chodzi o to, jaką informację pominąłeś, tylko czego nie uwzględniłeś przy liczeniu całki.

P_J
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 6 wrz 2011, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: P_J » 6 wrz 2011, o 17:40

OK, a można prosić o podpowiedź, w jaki sposób i w którym miejscu powinienem to wziąć pod uwagę?

EDIT:

Czy granice którejś z całek powinny być na odwrót może?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: aalmond » 6 wrz 2011, o 17:52

Czy granice którejś z całek powinny być na odwrót może?
Przy takiej parametryzacji tak. Dlaczego?

P_J
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 6 wrz 2011, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: P_J » 6 wrz 2011, o 18:00

Być może dlatego, że idąc po łuku paraboli (startując w punkcie (-2,4)) idziemy w prawo, czyli w granicach -2,2, a po chwili stoimy na prawym krańcu odcinka na prostej y=4 i musimy iść w lewo, czyli powinniśmy całkować drugą całkę w granicach 2,-2. Zgadza się?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: aalmond » 6 wrz 2011, o 18:47

Nie do końca. Cały czas idziemy przecież w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara. Po prostu:

\(\displaystyle{ \int_{AB} = -\int_{BA}}\)

P_J
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 6 wrz 2011, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: P_J » 6 wrz 2011, o 18:51

No tak, właśnie o to mi chodziło. Każda z całek wynosi wtedy 16, skoro są przeciwnych znaków to rzeczywiście się zerują, jak powinno być. Dziękuję za pomoc

ODPOWIEDZ