Strona 1 z 1
Całka podwójna funkcji (wycinek koła).
: 4 wrz 2011, o 20:02
autor: wielkidemonelo
Obliczyć całkę podwójną funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=x+2y}\) po zbiorze
\(\displaystyle{ D={(x,y) \in R^2: x^2+y^2 \le 2 \wedge x \le 1 \wedge y>\ge -1}\)
Rysunek: Wycinek koła, dwa boki są prostokątami, trzeci to łuk okręgu.
Jak skonstruować całkę?
Dziękuję.
Całka podwójna funkcji (wycinek koła).
: 4 wrz 2011, o 20:05
autor: szw1710
Jak zmienia się \(\displaystyle{ x}\)? Zrób rysunek i popatrz, która linia jest na dole, a która na górze. Musisz mieć opis obszaru całkowania w postaci \(\displaystyle{ a\le x\le b}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(x)\le y\le\psi(x).}\)
Całka podwójna funkcji (wycinek koła).
: 4 wrz 2011, o 20:19
autor: wielkidemonelo
x zmienia się od
\(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\)do
\(\displaystyle{ 1}\), problem, że nie wiem jak wyznaczyć ten kąt.
Rysunek:
Kod: Zaznacz cały
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2By^2%3C%3D2%2C+x%3C%3D1%2C+y%3E%3D-1
Nie wiem jak wyznaczyć kąt.
Całka podwójna funkcji (wycinek koła).
: 4 wrz 2011, o 20:32
autor: szw1710
Czy koniecznie musisz przejść do współrzędnych biegunowych?
Całka podwójna funkcji (wycinek koła).
: 4 wrz 2011, o 20:34
autor: wielkidemonelo
Napisałeś \(\displaystyle{ \varphi(x)\le y\le\psi(x)}\), a to są chyba współrzędne biegunowe.
Jakby nie patrzeć ten obszar jest zakreślony przez łuk koła, więc chyba trzeba liczyć przez wspł. biegunowe.
Całka podwójna funkcji (wycinek koła).
: 4 wrz 2011, o 20:42
autor: aalmond
Napisałeś \(\displaystyle{ \varphi(x)\le y\le\psi(x)}\), a to są chyba współrzędne biegunowe
To jest podpowiedź, żeby wyznaczyć granice dla
\(\displaystyle{ y}\). Nie wprowadzaj biegunowych. Dodasz sobie tylko roboty.
Całka podwójna funkcji (wycinek koła).
: 4 wrz 2011, o 20:51
autor: wielkidemonelo
x zmienia się od \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\)do \(\displaystyle{ 1}\)
y zmienia się od \(\displaystyle{ -1}\)do \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
?
Całka podwójna funkcji (wycinek koła).
: 4 wrz 2011, o 21:19
autor: szw1710
Nie - to opisuje prostokąt, a nasz obszar prostokątem nie jest.
Całka podwójna funkcji (wycinek koła).
: 4 wrz 2011, o 21:53
autor: wielkidemonelo
Nie wiem jak mają wyglądać granice całkowania \(\displaystyle{ y}\)
Mógłby ktoś napisać?
Całka podwójna funkcji (wycinek koła).
: 4 wrz 2011, o 22:03
autor: aalmond
Jakie są ograniczenia dla \(\displaystyle{ y}\) od dołu i od góry?
Całka podwójna funkcji (wycinek koła).
: 5 wrz 2011, o 23:06
autor: wielkidemonelo
od dołu \(\displaystyle{ -1}\) a od góry \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
nie wiem jak rozpisać tą całkę nie używając zmiennych biegunowych (z biegunowymi też nie wiem jak, bo nie wiem jak wyznaczyć kąt).
Mógłby ktoś pomóc?