Całka podwójna funkcji (wycinek koła).

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
wielkidemonelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 11 gru 2007, o 22:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 68 razy

Całka podwójna funkcji (wycinek koła).

Post autor: wielkidemonelo » 4 wrz 2011, o 20:02

Obliczyć całkę podwójną funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=x+2y}\) po zbiorze
\(\displaystyle{ D={(x,y) \in R^2: x^2+y^2 \le 2 \wedge x \le 1 \wedge y>\ge -1}\)
Rysunek: Wycinek koła, dwa boki są prostokątami, trzeci to łuk okręgu.
Jak skonstruować całkę?
Dziękuję.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18774
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3734 razy

Całka podwójna funkcji (wycinek koła).

Post autor: szw1710 » 4 wrz 2011, o 20:05

Jak zmienia się \(\displaystyle{ x}\)? Zrób rysunek i popatrz, która linia jest na dole, a która na górze. Musisz mieć opis obszaru całkowania w postaci \(\displaystyle{ a\le x\le b}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(x)\le y\le\psi(x).}\)

wielkidemonelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 11 gru 2007, o 22:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 68 razy

Całka podwójna funkcji (wycinek koła).

Post autor: wielkidemonelo » 4 wrz 2011, o 20:19

x zmienia się od \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\)do \(\displaystyle{ 1}\), problem, że nie wiem jak wyznaczyć ten kąt.
Rysunek:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2By^2%3C%3D2%2C+x%3C%3D1%2C+y%3E%3D-1
Nie wiem jak wyznaczyć kąt.
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 20:48 przez wielkidemonelo, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18774
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3734 razy

Całka podwójna funkcji (wycinek koła).

Post autor: szw1710 » 4 wrz 2011, o 20:32

Czy koniecznie musisz przejść do współrzędnych biegunowych?

wielkidemonelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 11 gru 2007, o 22:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 68 razy

Całka podwójna funkcji (wycinek koła).

Post autor: wielkidemonelo » 4 wrz 2011, o 20:34

Napisałeś \(\displaystyle{ \varphi(x)\le y\le\psi(x)}\), a to są chyba współrzędne biegunowe.
Jakby nie patrzeć ten obszar jest zakreślony przez łuk koła, więc chyba trzeba liczyć przez wspł. biegunowe.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka podwójna funkcji (wycinek koła).

Post autor: aalmond » 4 wrz 2011, o 20:42

Napisałeś \(\displaystyle{ \varphi(x)\le y\le\psi(x)}\), a to są chyba współrzędne biegunowe
To jest podpowiedź, żeby wyznaczyć granice dla \(\displaystyle{ y}\). Nie wprowadzaj biegunowych. Dodasz sobie tylko roboty.

wielkidemonelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 11 gru 2007, o 22:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 68 razy

Całka podwójna funkcji (wycinek koła).

Post autor: wielkidemonelo » 4 wrz 2011, o 20:51

x zmienia się od \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\)do \(\displaystyle{ 1}\)
y zmienia się od \(\displaystyle{ -1}\)do \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18774
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3734 razy

Całka podwójna funkcji (wycinek koła).

Post autor: szw1710 » 4 wrz 2011, o 21:19

Nie - to opisuje prostokąt, a nasz obszar prostokątem nie jest.

wielkidemonelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 11 gru 2007, o 22:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 68 razy

Całka podwójna funkcji (wycinek koła).

Post autor: wielkidemonelo » 4 wrz 2011, o 21:53

Nie wiem jak mają wyglądać granice całkowania \(\displaystyle{ y}\)
Mógłby ktoś napisać?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka podwójna funkcji (wycinek koła).

Post autor: aalmond » 4 wrz 2011, o 22:03

Jakie są ograniczenia dla \(\displaystyle{ y}\) od dołu i od góry?

wielkidemonelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 11 gru 2007, o 22:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 68 razy

Całka podwójna funkcji (wycinek koła).

Post autor: wielkidemonelo » 5 wrz 2011, o 23:06

od dołu \(\displaystyle{ -1}\) a od góry \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

nie wiem jak rozpisać tą całkę nie używając zmiennych biegunowych (z biegunowymi też nie wiem jak, bo nie wiem jak wyznaczyć kąt).
Mógłby ktoś pomóc?

ODPOWIEDZ