Matematyka.pl

Witam
Mam zadanie:

Wyznaczyć asymptoty funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x^2+5x-1}{x-3}}\)

Tak je rozwiązuję:

\(\displaystyle{ D_{f}: x-3 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x \neq 3}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to3 } =+ \infty}\)

- asymptota pionowa

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{f(x)}{x} = \lim_{ x\to \infty } \frac{ \frac{2x^2+5x-1}{x-3} }{x} = \lim_{x \to \infty } \frac{2x^2+5x-1}{x^2-3x} = \lim_{x \to \infty } \frac{x^2(2+ \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2}) }{x^2(1- \frac{3}{x} )} = \frac{2}{1}}\)

- asymptota ukośna

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } f(x)-ax= \lim_{x \to \infty } \frac{2x^2+5x-1}{x-3} -2x= \lim_{ x\to \infty } \frac{2x^2+5x-1-2x(x-3)}{x-3} = \lim_{x \to \infty } \frac{11x-1}{x-3} = \lim_{x \to \infty } \frac{x(11- \frac{1}{x} )}{x(1- \frac{3}{x}) } = \frac{11}{1} =11}\)

Czy to jest poprawnie i całkowicie rozwiązane zadanie?

jeśli chodzi o asymptoty pionowe to zbadaj granice jednostronne. Choć jest ok, że w \(\displaystyle{ 3}\) będzie asymptota pionowa. Nie zbadałaś w sumie istnienia asymptot poziomych, choć tutaj one nie istnieją. Zapisz też odpowiedź pozdrawiam!

Czyli w 3 będzie pionowa? A nie w 2 jak mi wyszło?
Jednostronne to:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 3 ^{+} }=+ \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 3 ^{-} } =- \infty}\)

Skąd wiadomo czy jakaś asymptota istnieje?

Poczytaj sobie o nich. Najpierw zapisujesz dziedzinę. Następnie badasz granice "na krańcach dziedziny". W ten sposób wyznaczasz asymptoty poziome i pionowe. Aby zbadać czy istnieje asymptota ukośna masz też gotowy wzór i wystarczy policzyć odpowiednią granicę. Np. sprawdź istnienie asymptot funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\ln x}{x}}\). pozdrawiam!

Dodam tylko, że jeśli masz i tak sprawdzić istnienie asymptoty ukośnej, to nie warto szukać asymptoty poziomej, bo ona i tak "wyjdzie" przy liczeniu ukośnej.