Asymptoty funkcjii

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
gonnti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 1 wrz 2011, o 14:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Asymptoty funkcjii

Post autor: gonnti » 1 wrz 2011, o 17:19

Witam
Mam zadanie:

Wyznaczyć asymptoty funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x^2+5x-1}{x-3}}\)

Tak je rozwiązuję:

\(\displaystyle{ D_{f}: x-3 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x \neq 3}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to3 } =+ \infty}\)

- asymptota pionowa

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{f(x)}{x} = \lim_{ x\to \infty } \frac{ \frac{2x^2+5x-1}{x-3} }{x} = \lim_{x \to \infty } \frac{2x^2+5x-1}{x^2-3x} = \lim_{x \to \infty } \frac{x^2(2+ \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2}) }{x^2(1- \frac{3}{x} )} = \frac{2}{1}}\)

- asymptota ukośna

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } f(x)-ax= \lim_{x \to \infty } \frac{2x^2+5x-1}{x-3} -2x= \lim_{ x\to \infty } \frac{2x^2+5x-1-2x(x-3)}{x-3} = \lim_{x \to \infty } \frac{11x-1}{x-3} = \lim_{x \to \infty } \frac{x(11- \frac{1}{x} )}{x(1- \frac{3}{x}) } = \frac{11}{1} =11}\)

Czy to jest poprawnie i całkowicie rozwiązane zadanie?

mateuszek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1106
Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: toruń
Pomógł: 153 razy

Asymptoty funkcjii

Post autor: mateuszek89 » 1 wrz 2011, o 18:28

jeśli chodzi o asymptoty pionowe to zbadaj granice jednostronne. Choć jest ok, że w \(\displaystyle{ 3}\) będzie asymptota pionowa. Nie zbadałaś w sumie istnienia asymptot poziomych, choć tutaj one nie istnieją. Zapisz też odpowiedź pozdrawiam!

gonnti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 1 wrz 2011, o 14:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Asymptoty funkcjii

Post autor: gonnti » 1 wrz 2011, o 19:02

Czyli w 3 będzie pionowa? A nie w 2 jak mi wyszło?
Jednostronne to:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 3 ^{+} }=+ \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 3 ^{-} } =- \infty}\)

Skąd wiadomo czy jakaś asymptota istnieje?

mateuszek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1106
Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: toruń
Pomógł: 153 razy

Asymptoty funkcjii

Post autor: mateuszek89 » 1 wrz 2011, o 19:11

Poczytaj sobie o nich. Najpierw zapisujesz dziedzinę. Następnie badasz granice "na krańcach dziedziny". W ten sposób wyznaczasz asymptoty poziome i pionowe. Aby zbadać czy istnieje asymptota ukośna masz też gotowy wzór i wystarczy policzyć odpowiednią granicę. Np. sprawdź istnienie asymptot funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\ln x}{x}}\). pozdrawiam!

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Asymptoty funkcjii

Post autor: Crizz » 1 wrz 2011, o 21:00

Dodam tylko, że jeśli masz i tak sprawdzić istnienie asymptoty ukośnej, to nie warto szukać asymptoty poziomej, bo ona i tak "wyjdzie" przy liczeniu ukośnej.

ODPOWIEDZ