Strona 1 z 1
całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa
: 21 sie 2011, o 15:23
autor: johanneskate
\(\displaystyle{ \iint_{\left\{ (x,y):\ 0\le x \le \pi ; \ 0 \le y \le \pi -x} \right\} } \left| \cos{(x+y)} \right| \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Obszar to taki trójkąt w pierwszej ćwiartce. Tylko co dalej? Pominąć wartość bezwzględną?
całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa
: 21 sie 2011, o 15:28
autor: tometomek91
johanneskate pisze:Pominąć wartość bezwzględną?
z jakiej przyczyny?
mamy:
\(\displaystyle{ ...= \int_{0}^{\pi} \left( \int_{0}^{\pi-x} \left| \cos{(x+y)} \right| \mbox{d}y \right) \mbox{d}x}\)
i dalej jak umiemy.
całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa
: 21 sie 2011, o 15:32
autor: johanneskate
tometomek91, to wiem co napisałeś. I jaka będzie całka z tej wartości bezwzględnej?
Coś takiego:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \left \left| \sin{(x+y)} \right| \right| ^{ \pi -x} _{0} \right) \mbox{d}x}\)
?
Jeśli tak to następny krok to będzie też liczenie całki, ale opuszczę znak minus?
całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa
: 21 sie 2011, o 15:39
autor: aalmond
Rozbij na dwie całki zgodnie z definicją wartości bezwzględnej.
całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa
: 21 sie 2011, o 15:48
autor: johanneskate
aalmond, ok, dzięki, teraz już jasne i proste. Dawno tego nie robiłem ;].
To może tematycznie tak dam kolejną całkę.
\(\displaystyle{ \iint_{D} sgn(x^2-y^2+2) \mbox{d}x\mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ D=\left\{ (x,y) \in \Re : x^2+y^2 \le 4 \right\}}\)
jak traktować to sgn? Jak liczyć całkę tego?
całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa
: 21 sie 2011, o 15:50
autor: tometomek91
co do pierwszego:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi-x} \left| \cos{(x+y)} \right| \mbox{d}y= \int_{x}^{\pi} \left| \cos{t} \right| \mbox{d}t}\)
gdzie \(\displaystyle{ 0 \le t \le \pi}\) i \(\displaystyle{ 0 \le x \le \pi}\)
czyli
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \left( \int_{0}^{\pi-x} \left| \cos{(x+y)} \right| \mbox{d}y \right) \mbox{d}x=\int_{0}^{\pi} \left( \int_{x}^{\pi} \left| \cos{t} \right| \mbox{d}t \right) \mbox{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_{x}^{\pi} \left| \cos{t} \right| \mbox{d}t \right) \mbox{d}x+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \int_{x}^{\pi} \left| \cos{t} \right| \mbox{d}t \right) \mbox{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( -\int_{x}^{\pi} \cos{t} \mbox{d}t \right) \mbox{d}x+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \int_{x}^{\pi} \cos{t} \mbox{d}t \right) \mbox{d}x=...}\)
druga całka też z definicji sgn
\(\displaystyle{ sgn(x)= \begin{cases} 1\ \ dla\ x > 0 \\ 0\ \ dla\ x=0 \\ -1\ \ dla\ x<0 \end{cases}}\)
i tak samo jak w pierwszej całce.