całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
johanneskate
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 488
Rejestracja: 24 lut 2009, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2 razy

całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: johanneskate » 21 sie 2011, o 15:23

\(\displaystyle{ \iint_{\left\{ (x,y):\ 0\le x \le \pi ; \ 0 \le y \le \pi -x} \right\} } \left| \cos{(x+y)} \right| \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

Obszar to taki trójkąt w pierwszej ćwiartce. Tylko co dalej? Pominąć wartość bezwzględną?
Ostatnio zmieniony 21 sie 2011, o 18:02 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa zapisu funkcji trygonometrycznych.

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: tometomek91 » 21 sie 2011, o 15:28

johanneskate pisze:Pominąć wartość bezwzględną?
z jakiej przyczyny?

mamy:
\(\displaystyle{ ...= \int_{0}^{\pi} \left( \int_{0}^{\pi-x} \left| \cos{(x+y)} \right| \mbox{d}y \right) \mbox{d}x}\)
i dalej jak umiemy.
Ostatnio zmieniony 21 sie 2011, o 18:02 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu funkcji trygonometrycznych.

Awatar użytkownika
johanneskate
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 488
Rejestracja: 24 lut 2009, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2 razy

całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: johanneskate » 21 sie 2011, o 15:32

tometomek91, to wiem co napisałeś. I jaka będzie całka z tej wartości bezwzględnej?

Coś takiego:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \left \left| \sin{(x+y)} \right| \right| ^{ \pi -x} _{0} \right) \mbox{d}x}\)

?

Jeśli tak to następny krok to będzie też liczenie całki, ale opuszczę znak minus?
Ostatnio zmieniony 21 sie 2011, o 18:03 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu funkcji trygonometrycznych.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: aalmond » 21 sie 2011, o 15:39

Rozbij na dwie całki zgodnie z definicją wartości bezwzględnej.

Awatar użytkownika
johanneskate
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 488
Rejestracja: 24 lut 2009, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2 razy

całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: johanneskate » 21 sie 2011, o 15:48

aalmond, ok, dzięki, teraz już jasne i proste. Dawno tego nie robiłem ;].

To może tematycznie tak dam kolejną całkę.

\(\displaystyle{ \iint_{D} sgn(x^2-y^2+2) \mbox{d}x\mbox{d}y}\)

\(\displaystyle{ D=\left\{ (x,y) \in \Re : x^2+y^2 \le 4 \right\}}\)

jak traktować to sgn? Jak liczyć całkę tego?

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

całka podwójna, wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: tometomek91 » 21 sie 2011, o 15:50

co do pierwszego:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi-x} \left| \cos{(x+y)} \right| \mbox{d}y= \int_{x}^{\pi} \left| \cos{t} \right| \mbox{d}t}\)
gdzie \(\displaystyle{ 0 \le t \le \pi}\) i \(\displaystyle{ 0 \le x \le \pi}\)
czyli
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \left( \int_{0}^{\pi-x} \left| \cos{(x+y)} \right| \mbox{d}y \right) \mbox{d}x=\int_{0}^{\pi} \left( \int_{x}^{\pi} \left| \cos{t} \right| \mbox{d}t \right) \mbox{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_{x}^{\pi} \left| \cos{t} \right| \mbox{d}t \right) \mbox{d}x+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \int_{x}^{\pi} \left| \cos{t} \right| \mbox{d}t \right) \mbox{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( -\int_{x}^{\pi} \cos{t} \mbox{d}t \right) \mbox{d}x+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \int_{x}^{\pi} \cos{t} \mbox{d}t \right) \mbox{d}x=...}\)
druga całka też z definicji sgn
\(\displaystyle{ sgn(x)= \begin{cases} 1\ \ dla\ x > 0 \\ 0\ \ dla\ x=0 \\ -1\ \ dla\ x<0 \end{cases}}\)
i tak samo jak w pierwszej całce.

ODPOWIEDZ