Matematyka.pl

Jeżeli \(\displaystyle{ (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})}\) jest bazą to udowodnij, że \(\displaystyle{ (v_{1},v_{1}+v_{2},v_{3},v_{1}+v_{3}+v_{4})}\) też jest bazą.

Kiedy zbiór wektorów jest bazą?

Jeżeli każdy wektor jest kombinacją liniową wektorów z bazy

Są dwa warunki, które musi spełnić ten zbiór, aby być bazą:
1) liczba wektorów tworzących bazę, jest identyczna z wymiarem przestrzeni, z której pochodzą te wektory
2) układ wektorów jest liniowo niezależny

Czy te warunki są spełnione?

a jak to sprawdzić?

Pierwszy warunek jest oczywiście spełniony. Jeśli chodzi o drugi, to musisz sobie odpowiedzieć na pytanie: Kiedy układ wektorów jest liniowo niezależny?

Gdy spełniony jest warunek \(\displaystyle{ \forall \alpha _{1}...\alpha _{n}\in K [\alpha _{1}x_{1}+...+\alpha _{n}x_{n}=\Theta \Rightarrow \alpha _{1}=...=\alpha _{n}=0]}\)

Dobrze. Zastosuj to, do swojego zadania.

\(\displaystyle{ \alpha _{1} v _{1}+ \alpha _{2}(v _{1}+v _{2})+ \alpha _{3}v _{3}+ \alpha _{4}(v _{1}+v _{3}+v _{4})=(0,0,0,0)}\) ?

Tak. I teraz trzeba wykazać, że ta równość zachodzi tylko wtedy, gdy: \(\displaystyle{ \alpha_{1}= \alpha_{2}= \alpha_{3}= \alpha_{4}=0}\)

trzeba to wymnożyć tylko nie wiem później jak to pogrupować

i to co w nawiasach wyjdzie musi być równe zero, bo wynika to z założenia, tak?

Wiemy, że wektory \(\displaystyle{ (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})}\) są bazą. Tworzą w związku z tym układ liniowo niezależny. A zatem, powyższa równość będzie spełniona tylko wtedy, gdy "to co w nawiasach" będzie jednocześnie równe zero.

ok, dzięki