baza - dowód

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
kalik

baza - dowód

Post autor: kalik » 19 sie 2011, o 15:27

Jeżeli \(\displaystyle{ (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})}\) jest bazą to udowodnij, że \(\displaystyle{ (v_{1},v_{1}+v_{2},v_{3},v_{1}+v_{3}+v_{4})}\) też jest bazą.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza - dowód

Post autor: aalmond » 19 sie 2011, o 15:36

Kiedy zbiór wektorów jest bazą?

kalik

baza - dowód

Post autor: kalik » 19 sie 2011, o 15:48

Jeżeli każdy wektor jest kombinacją liniową wektorów z bazy

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza - dowód

Post autor: aalmond » 19 sie 2011, o 16:00

Są dwa warunki, które musi spełnić ten zbiór, aby być bazą:
1) liczba wektorów tworzących bazę, jest identyczna z wymiarem przestrzeni, z której pochodzą te wektory
2) układ wektorów jest liniowo niezależny

Czy te warunki są spełnione?

kalik

baza - dowód

Post autor: kalik » 20 sie 2011, o 09:06

a jak to sprawdzić?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza - dowód

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 10:27

Pierwszy warunek jest oczywiście spełniony. Jeśli chodzi o drugi, to musisz sobie odpowiedzieć na pytanie: Kiedy układ wektorów jest liniowo niezależny?

kalik

baza - dowód

Post autor: kalik » 20 sie 2011, o 10:52

Gdy spełniony jest warunek \(\displaystyle{ \forall \alpha _{1}...\alpha _{n}\in K [\alpha _{1}x_{1}+...+\alpha _{n}x_{n}=\Theta \Rightarrow \alpha _{1}=...=\alpha _{n}=0]}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza - dowód

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 11:03

Dobrze. Zastosuj to, do swojego zadania.

kalik

baza - dowód

Post autor: kalik » 20 sie 2011, o 15:20

\(\displaystyle{ \alpha _{1} v _{1}+ \alpha _{2}(v _{1}+v _{2})+ \alpha _{3}v _{3}+ \alpha _{4}(v _{1}+v _{3}+v _{4})=(0,0,0,0)}\) ?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza - dowód

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 15:27

Tak. I teraz trzeba wykazać, że ta równość zachodzi tylko wtedy, gdy: \(\displaystyle{ \alpha_{1}= \alpha_{2}= \alpha_{3}= \alpha_{4}=0}\)

kalik

baza - dowód

Post autor: kalik » 20 sie 2011, o 15:33

trzeba to wymnożyć tylko nie wiem później jak to pogrupować

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza - dowód

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 15:39

\(\displaystyle{ v_{1} \cdot () + v_{2} \cdot ()+v_{3} \cdot ()+v_{4} \cdot () = 0}\)

kalik

baza - dowód

Post autor: kalik » 20 sie 2011, o 15:44

i to co w nawiasach wyjdzie musi być równe zero, bo wynika to z założenia, tak?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

baza - dowód

Post autor: aalmond » 20 sie 2011, o 16:28

Wiemy, że wektory \(\displaystyle{ (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})}\) są bazą. Tworzą w związku z tym układ liniowo niezależny. A zatem, powyższa równość będzie spełniona tylko wtedy, gdy "to co w nawiasach" będzie jednocześnie równe zero.

kalik

baza - dowód

Post autor: kalik » 21 sie 2011, o 09:51

ok, dzięki

ODPOWIEDZ