Matematyka.pl

Witam wszystkich! Jakie podstawienie byście proponowali do tego równania:
\(\displaystyle{ y' + \frac{y}{x} = \frac{x}{y} -y}\)
?
Z góry dziękuję za pomoc!

\(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\) ? Tak na pierwszy rzut oka.

Czy rozwiązanie tego równania musi spełniać dane równanie? Jak nie to mam inne podstawienie

Dajmy na to, że nie musi... pokaż podstawienie...

Pokazałem przed chwilą jak widać. Zobacz czy działa.

Jak nie zadziała (a na moje oko nie zadziała), to podpowiedź - jest to równanie typu Bernoullego.

Podstawienie \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\) , czy \(\displaystyle{ v = \frac{x}{y}}\) nie działają...
Myślę, że podpowiedź Rogal'a zaprowadzi mnie do rozwiązania...

Jak coś będę pisał...! Dzięki za pomoc!

Tak na pierwszy rzut oka równanie nie jest jednorodne ;]

miodzio1988 pisze:\(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\) ? Tak na pierwszy rzut oka.

Czy rozwiązanie tego równania musi spełniać dane równanie? Jak nie to mam inne podstawienie

Karoll_Fizyk pisze:Dajmy na to, że nie musi... pokaż podstawienie...

No to jak nie musi rozwiązanie spełniać początkowego równania to moje podstawienie jest ok W ogóle bez podstawienia mogę podać odpowiedź.

Podpowiedź Rogala jest słuszna

\(\displaystyle{ y^{\prime}+\frac{y}{x}=\frac{x}{y}-y\\
y^{\prime}+y+\frac{y}{x}=\frac{x}{y}\\
y^{\prime}+\left(1+\frac{1}{x}\right)y=\frac{x}{y}\\
2yy^{\prime}+\left(2+\frac{2}{x}\right)y^2=2x\\
u=y^2\\
u^{\prime}+\left(2+\frac{2}{x}\right)u=2x\\
u^{\prime}+\left(2+\frac{2}{x}\right)u=0\\
u^{\prime}=-\left(2+\frac{2}{x}\right)u\\
\frac{\mbox{d}u}{u}=-\left(2+\frac{2}{x}\right)\mbox{d}x\\
\ln{|u|}=-2x-2\ln{|x|}+C\\
u=Cx^{-2}e^{-2x}\\
u\left(x\right)=C\left(x\right)x^{-2}e^{-2x}\\
C^{\prime}\left(x\right)x^{-2}e^{-2x}+C\left(x\right)\left(-2x^{-3}e^{-2x}-2x^{-2}e^{-2x}\right)+C\left(x\right)\left(2x^{-3}e^{-2x}+2x^{-2}e^{-2x}\right)=2x\\
C^{\prime}\left(x\right)x^{-2}e^{-2x}=2x\\
C^{\prime}\left(x\right)=2x^3e^{2x}\\
C\left(x\right)=2\int{x^3e^{2x}\mbox{d}x}=x^3e^{2x}-3\int{x^2e^{2x}\mbox{d}x}\\
C\left(x\right)=x^3e^{2x}-\frac{3}{2}x^2e^{-2x}+3\int{xe^{2x}\mbox{d}x}\\
C\left(x\right)=x^3e^{2x}-\frac{3}{2}x^2e^{-2x}+\frac{3}{2}xe^{2x}-\frac{3}{2}\int{e^{2x}\mbox{d}x}\\
C\left(x\right)=x^3e^{2x}-\frac{3}{2}x^2e^{-2x}+\frac{3}{2}xe^{2x}-\frac{3}{4}e^{2x}+C\\
C\left(x\right)=\left(x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{4}\right)e^{2x}+C\\
u=\left(x-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\frac{1}{x}-\frac{3}{4}\frac{1}{x^2}\right)+C\frac{e^{-2x}}{x^2}\\
y^2=\left(x-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\frac{1}{x}-\frac{3}{4}\frac{1}{x^2}\right)+C\frac{e^{-2x}}{x^2}\\
y=\pm\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x}-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x^2}\right)+C\frac{e^{-2x}}{x^2}}\\}\)

Dzięki za pomoc!