Równanie różniczkowe

[Karoll_Fizyk]

Witam wszystkich! Jakie podstawienie byście proponowali do tego równania:
\(\displaystyle{ y' + \frac{y}{x} = \frac{x}{y} -y}\)
?
Z góry dziękuję za pomoc!

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\) ? Tak na pierwszy rzut oka.

Czy rozwiązanie tego równania musi spełniać dane równanie? Jak nie to mam inne podstawienie

[Karoll_Fizyk]

Dajmy na to, że nie musi... pokaż podstawienie...

[miodzio1988]

Pokazałem przed chwilą jak widać. Zobacz czy działa.

[Rogal]

Jak nie zadziała (a na moje oko nie zadziała), to podpowiedź - jest to równanie typu Bernoullego.

[Karoll_Fizyk]

Podstawienie \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\) , czy \(\displaystyle{ v = \frac{x}{y}}\) nie działają...
Myślę, że podpowiedź Rogal'a zaprowadzi mnie do rozwiązania...

Jak coś będę pisał...! Dzięki za pomoc!

[Funktor]

Tak na pierwszy rzut oka równanie nie jest jednorodne ;]

\(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\) ? Tak na pierwszy rzut oka.

Czy rozwiązanie tego równania musi spełniać dane równanie? Jak nie to mam inne podstawienie

[miodzio1988]

Dajmy na to, że nie musi... pokaż podstawienie...

No to jak nie musi rozwiązanie spełniać początkowego równania to moje podstawienie jest ok W ogóle bez podstawienia mogę podać odpowiedź.

[Mariusz M]

Podpowiedź Rogala jest słuszna

\(\displaystyle{ y^{\prime}+\frac{y}{x}=\frac{x}{y}-y\\
y^{\prime}+y+\frac{y}{x}=\frac{x}{y}\\
y^{\prime}+\left(1+\frac{1}{x}\right)y=\frac{x}{y}\\
2yy^{\prime}+\left(2+\frac{2}{x}\right)y^2=2x\\
u=y^2\\
u^{\prime}+\left(2+\frac{2}{x}\right)u=2x\\
u^{\prime}+\left(2+\frac{2}{x}\right)u=0\\
u^{\prime}=-\left(2+\frac{2}{x}\right)u\\
\frac{\mbox{d}u}{u}=-\left(2+\frac{2}{x}\right)\mbox{d}x\\
\ln{|u|}=-2x-2\ln{|x|}+C\\
u=Cx^{-2}e^{-2x}\\
u\left(x\right)=C\left(x\right)x^{-2}e^{-2x}\\
C^{\prime}\left(x\right)x^{-2}e^{-2x}+C\left(x\right)\left(-2x^{-3}e^{-2x}-2x^{-2}e^{-2x}\right)+C\left(x\right)\left(2x^{-3}e^{-2x}+2x^{-2}e^{-2x}\right)=2x\\
C^{\prime}\left(x\right)x^{-2}e^{-2x}=2x\\
C^{\prime}\left(x\right)=2x^3e^{2x}\\
C\left(x\right)=2\int{x^3e^{2x}\mbox{d}x}=x^3e^{2x}-3\int{x^2e^{2x}\mbox{d}x}\\
C\left(x\right)=x^3e^{2x}-\frac{3}{2}x^2e^{-2x}+3\int{xe^{2x}\mbox{d}x}\\
C\left(x\right)=x^3e^{2x}-\frac{3}{2}x^2e^{-2x}+\frac{3}{2}xe^{2x}-\frac{3}{2}\int{e^{2x}\mbox{d}x}\\
C\left(x\right)=x^3e^{2x}-\frac{3}{2}x^2e^{-2x}+\frac{3}{2}xe^{2x}-\frac{3}{4}e^{2x}+C\\
C\left(x\right)=\left(x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{4}\right)e^{2x}+C\\
u=\left(x-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\frac{1}{x}-\frac{3}{4}\frac{1}{x^2}\right)+C\frac{e^{-2x}}{x^2}\\
y^2=\left(x-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\frac{1}{x}-\frac{3}{4}\frac{1}{x^2}\right)+C\frac{e^{-2x}}{x^2}\\
y=\pm\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x}-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x^2}\right)+C\frac{e^{-2x}}{x^2}}\\}\)

[Karoll_Fizyk]

Dzięki za pomoc!