Matematyka.pl

Witam, czy mógłby ktoś wytłumaczyć jak się sprawdza czy istnieje granica na tych przykładach:

1)\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \cos\frac{1}{x}}\)

2)\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} x\cos\frac{1}{x}}\)

Z góry dziękuje.

1. skorzystaj z definicji Heinego granicy funkcji
2. skorzystaj z tw. o trzech funkcjach

czyli w tym pierwszym muszę wziąć jakikolwiek ciąg który dąży do 0 np. \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\) wtedy:

\(\displaystyle{ \cos \frac{1}{\frac{1}{2n}}=\cos0=1}\) i co dalej ?

adaptacja_film pisze:\(\displaystyle{ \cos \frac{1}{\frac{1}{2n}}=\cos0=1}\) i co dalej ?

Pierwsza równość nie jest prawdziwa. Poza tym, wybór takiego ciągu do niczego nie doprowadzi. Wybierz takie ciągi argumentów, żeby uzyskać wartość funkcji \(\displaystyle{ 0}\) dla jednego z nich oraz \(\displaystyle{ 1}\) dla drugiego.

Mógłbyś pokazać jak to rozwiązać krok po kroku? Bo nie mam pojęcia o co chodzi.

Zerknij na wykres cosinusa i od razu zobaczysz jaki to ma być podciąg

Powiedziałem Ci już co masz zrobić. Zastanów się nad postacią wyrażenia \(\displaystyle{ \frac1x}\)

Czy teraz jest dobrze?

Wzięłam ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{3}{2}n\pi}}\) podstawiłam pod funkcje i wyszło że \(\displaystyle{ \cos\frac{3}{2}n\pi=0}\).

czyli wniosek z tego taki, że granica funkcji nie istnieje

To już jest krok w dobrym kierunku. Ale zauważ że granica tego ciągu nie jest równa \(\displaystyle{ 0}\). Wśród wyrazów tego ciągu znajdują się takie, które przyjmują wartość \(\displaystyle{ -1}\) - choćby dla \(\displaystyle{ n=2}\). Poszukaj innych ciągów argumentów.

A przykład 2 nie można zrobić korzystając z reguły de l Hospitala ?

nie są spełnione założenia

Masz rację. Teraz to widzę