Matematyka.pl

Witam...

Mam problem z takim zadaniem.

Uzasadnić, że nierówność:

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{x}-3+ \frac{1}{x}>0}\) jest prawdziwa dla każdego\(\displaystyle{ x>1}\).

Obliczyłem pochodną bo chyba się tutaj do czegoś przyda i wyszła mi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{x}}- \frac{1}{ x^{2} }}\)

Nie wiem co w ogóle mam tutaj zrobić...

No dobra. Po co policzyłeś pochodną?

Nie wiem po co, myślałem, że się do czegoś przyda...

Ale co nam pochodna ogólnie mówi?

Nie wiem o co Ci chodzi...

No pociągnąć chce Twój pomysł. Jaką informacje daje nam znak pochodnej?

Taką czy funkcja rośnie czy maleje...

No dobra. Jaki jest znak tej naszej pochodnej? Dla jakich \(\displaystyle{ x}\) ta funkcja po lewej jest rosnąca?

Dla większych od jedynki jest rosnąca, chyba.

PS:
Nie możesz po prostu napisać co mam zrobić...

Dla większych od jedynki jest rosnąca, chyba.

To chyba czy na pewno? Udowodnij to nam

PS:
Nie możesz po prostu napisać co mam zrobić...

Zacznij myśleć?

Napewno

No to spoko. Jest rosnąca. Zobacz co dla \(\displaystyle{ x=1}\) się dzieje dla tej funkcji po lewej. Co się dzieje?

Wynosi zero.

I teraz przychodzi ten najtrudniejszy moment. Uważaj. Musisz teraz pomyśleć. Bo już wszystkie argumenty podaliśmy, wszystko już mamy i trzeba tylko napisać wniosek. Jaki jest zatem wniosek?

No jak wynosi zero to ta nierówność nie jest spełniona. A dla każdego \(\displaystyle{ x>1}\) jest.