Matematyka.pl

czy mogłabym prosić o wskazówki do rozwiązań tych granic?
1)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to 1}\frac{x^{n} -1}{x-1}}\) , n- liczba naturalna

skorzystałam tu ze wzoru: \(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b + a^{n-3}b^{n}+...+ab^{n-2} + b^{n}}\) gdzie skróciłam (x-1) ale potem już nie wiem co dalej

2)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to 3}\frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x^{2}-9}=\lim_{n\to 3}\frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{(x-3)(x+3)} = \lim_{n\to 3}\frac{(-1)^{[x]}}{(x+3)}=-\frac{1}{6}}\) a ma wyjść \(\displaystyle{ -\infty}\)

3)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+mx}-1}{x}}\)

Wydaje mi się, że granica powinna być w każdym przypadku po "x", zgadza się? To wtedy:

a) \(\displaystyle{ \lim_{ x \to 1} \frac{x^n-1}{x-1} = \lim_{ x \to 1} x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1 = n}\)
(n jakaś liczba naturalna)

b) dobrze jest zrobione moim zdaniem

c) chyba będzie \(\displaystyle{ +/- \infty}\) w zależności od \(\displaystyle{ m}\).

Nie wiem czy dobrze myślę (nie chce wprowadzać Ciebie w błąd) ale ja bym tak zrobił jakbym musiał.

3) Inaczej.
Rozszerzyć tak aby w liczniku popodnosić oba składniki do trzeciej.

Jak tam wszędzie jest \(\displaystyle{ \lim_{n\to \mbox{coś}}}\) to granicą jest całe wyrażenie, bo nie zależy od \(\displaystyle{ n}\) Ale jak tam ma być \(\displaystyle{ x}\) to w 2. policz granice jednostronne, a w 3. sprzęż odpowiednio, tak żeby pozbyć się pierwiastka.

w 1 nie rozumiem do końca dlaczego ma wyjść n
w 2 odpowiedź jest -\(\displaystyle{ \infty}\)
w 3 jest podpowiedź: aby pod 1+mx podstawić \(\displaystyle{ t^{3}}\) i jak rozszerzyłam to wszystko się skróciło i zostało tylko \(\displaystyle{ \textbf{m}}\) a odpowiedź jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)m

b)
dobrze rozpisywałaś ale trzeba policzyć dwie granice (tak jak mówił Lorek).

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 3^{-} } \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x-9} = \frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 3^{+} } \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x-9} = -\frac{1}{6}}\)

chyba dobrze policzyłem.

c) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1+mx}-1}{x}= *}\)
robimy podstawienie tak jak podpowiedziałaś

\(\displaystyle{ t^3=1+mx}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{t^3-1}{m}}\)
\(\displaystyle{ t \rightarrow 1}\)

\(\displaystyle{ *= \lim_{t \to 1}\frac{t-1}{\frac{t^3-1}{m}}= \lim_{t \to 1}\frac{m}{t^2+t+1}=\frac{m}{3}}\)

a) wstaw za \(\displaystyle{ x}\) to do czego dąży i wyjdzie \(\displaystyle{ n}\)

kas_olk pisze:w 1 nie rozumiem do końca dlaczego ma wyjść n

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 1} \frac{x^n-1}{x-1} = \lim_{ x \to 1} \left(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+x+1 \right) =\underbrace{1^{n-1}+1^{n-2}+\ldots+1+1}_{n}=n}\)

mizera03 pisze:b)
dobrze rozpisywałaś ale trzeba policzyć dwie granice (tak jak mówił Lorek).

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 3^{-} } \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x-9} = \frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 3^{+} } \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x-9} = -\frac{1}{6}}\)

chyba dobrze policzyłem.

Coś tu namieszałeś.[edit] A już widzę - kwadrat w mianowniku zgubiłeś.

A co do liczenia z obu stron, dla mnie \(\displaystyle{ [3]=3}\) zatem w pierwszym poście jest ok.

Ale funkcja \(\displaystyle{ \left[ x\right]}\) jest nieciągła w punktach całkowitych, więc w pierwszym poście nie jest ok.

Zatem ja inaczej interpretuję zapis \(\displaystyle{ [x]}\).

To nie jest kwestia interpretacji.

\(\displaystyle{ \forall k \in \mathbb{Z} \quad \lim_{x \to k^{-}} \left[ x\right]=k-1 \ \wedge \ \lim_{x \to k^{+}} \left[ x\right]=k}\)

Co wynika z definicji: \(\displaystyle{ \left[ x\right]= \sup \left\{ k \in \mathbb{Z}: \quad k \le x\right\}}\)

Przecież my tutaj liczymy granicę w 3. W prawostronnym otoczeniu tego punktu funkcja \(\displaystyle{ \left[ x\right]}\) przyjmuje wartości 3, a w lewostronnym 2. Jak w takim razie mogłaby istnieć w tym punkcie granica tej funkcji?-- 20 lipca 2011, 13:05 --Ja bym c) robił bez podstawienia:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt[3]{mx+1}-1 }{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\left(\sqrt[3]{mx+1}-1 \right)\left(\sqrt[3]{\left(mx+1 \right)^2 }+ \sqrt[3]{mx+1}+1 \right) }{x\left(\sqrt[3]{\left(mx+1 \right)^2 }+ \sqrt[3]{mx+1}+1 \right)}=}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{x \to 0} \frac{\left( \sqrt[3]{mx+1} \right)^3-1^3 }{x\left(\sqrt[3]{\left(mx+1 \right)^2 }+ \sqrt[3]{mx+1}+1 \right)}=\lim_{x \to 0} \frac{mx }{x\left(\sqrt[3]{\left(mx+1 \right)^2 }+ \sqrt[3]{mx+1}+1 \right)}=}\)


\(\displaystyle{ =\lim_{x \to 0} \frac{m }{\sqrt[3]{\left(mx+1 \right)^2 }+ \sqrt[3]{mx+1}+1}=\frac{m }{\sqrt[3]{\left(m \cdot 0+1 \right)^2 }+ \sqrt[3]{m \cdot 0+1}+1}= \frac{m}{3}}\)

Tak masz rację - mój błąd (co do tego \(\displaystyle{ [x]}\)).

kas_olk pisze:
w 2 odpowiedź jest -\(\displaystyle{ \infty}\)

Może ta granica miała być liczona w punkcie \(\displaystyle{ x_0=-3}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -3^-} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } \cdot \left( x-3\right) }{x^2-9}=\lim_{x \to -3^-} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } }{x+3}=\left\{ \frac{\left( -1\right)^2 }{0^-} \right\}=- \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -3^+} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } \cdot \left( x-3\right) }{x^2-9}=\lim_{x \to -3^+} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } }{x+3}=\left\{ \frac{\left( -1\right)^3 }{0^+} \right\}=- \infty}\)



\(\displaystyle{ \lim_{x \to -3^-} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } \cdot \left( x-3\right) }{x^2-9}=\lim_{x \to -3^+} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } \cdot \left( x-3\right) }{x^2-9}=- \infty}\)


W takim razie \(\displaystyle{ \lim_{x \to -3} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } \cdot \left( x-3\right) }{x^2-9}=- \infty}\)

dziękuję bardzo wszystkim za pomoc

co do przykładu 3, na pewno jest w punkcie 3 widocznie jest błąd albo z przykładzie albo w odpowiedzi