granice funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
kas_olk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 4 lip 2011, o 18:46
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków

granice funkcji

Post autor: kas_olk » 20 lip 2011, o 07:32

czy mogłabym prosić o wskazówki do rozwiązań tych granic?
1)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to 1}\frac{x^{n} -1}{x-1}}\) , n- liczba naturalna

skorzystałam tu ze wzoru: \(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b + a^{n-3}b^{n}+...+ab^{n-2} + b^{n}}\) gdzie skróciłam (x-1) ale potem już nie wiem co dalej

2)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to 3}\frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x^{2}-9}=\lim_{n\to 3}\frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{(x-3)(x+3)} = \lim_{n\to 3}\frac{(-1)^{[x]}}{(x+3)}=-\frac{1}{6}}\) a ma wyjść \(\displaystyle{ -\infty}\)

3)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+mx}-1}{x}}\)

mizera03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 2 paź 2007, o 14:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bialystok
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 18 razy

granice funkcji

Post autor: mizera03 » 20 lip 2011, o 09:10

Wydaje mi się, że granica powinna być w każdym przypadku po "x", zgadza się? To wtedy:

a) \(\displaystyle{ \lim_{ x \to 1} \frac{x^n-1}{x-1} = \lim_{ x \to 1} x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1 = n}\)
(n jakaś liczba naturalna)

b) dobrze jest zrobione moim zdaniem

c) chyba będzie \(\displaystyle{ +/- \infty}\) w zależności od \(\displaystyle{ m}\).

Nie wiem czy dobrze myślę (nie chce wprowadzać Ciebie w błąd) ale ja bym tak zrobił jakbym musiał.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23173
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

granice funkcji

Post autor: piasek101 » 20 lip 2011, o 09:42

3) Inaczej.
Rozszerzyć tak aby w liczniku popodnosić oba składniki do trzeciej.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

granice funkcji

Post autor: Lorek » 20 lip 2011, o 09:46

Jak tam wszędzie jest \(\displaystyle{ \lim_{n\to \mbox{coś}}}\) to granicą jest całe wyrażenie, bo nie zależy od \(\displaystyle{ n}\) Ale jak tam ma być \(\displaystyle{ x}\) to w 2. policz granice jednostronne, a w 3. sprzęż odpowiednio, tak żeby pozbyć się pierwiastka.

kas_olk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 4 lip 2011, o 18:46
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków

granice funkcji

Post autor: kas_olk » 20 lip 2011, o 10:47

w 1 nie rozumiem do końca dlaczego ma wyjść n
w 2 odpowiedź jest -\(\displaystyle{ \infty}\)
w 3 jest podpowiedź: aby pod 1+mx podstawić \(\displaystyle{ t^{3}}\) i jak rozszerzyłam to wszystko się skróciło i zostało tylko \(\displaystyle{ \textbf{m}}\) a odpowiedź jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)m

mizera03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 2 paź 2007, o 14:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bialystok
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 18 razy

granice funkcji

Post autor: mizera03 » 20 lip 2011, o 11:13

b)
dobrze rozpisywałaś ale trzeba policzyć dwie granice (tak jak mówił Lorek).

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 3^{-} } \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x-9} = \frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 3^{+} } \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x-9} = -\frac{1}{6}}\)

chyba dobrze policzyłem.

c) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1+mx}-1}{x}= *}\)
robimy podstawienie tak jak podpowiedziałaś

\(\displaystyle{ t^3=1+mx}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{t^3-1}{m}}\)
\(\displaystyle{ t \rightarrow 1}\)

\(\displaystyle{ *= \lim_{t \to 1}\frac{t-1}{\frac{t^3-1}{m}}= \lim_{t \to 1}\frac{m}{t^2+t+1}=\frac{m}{3}}\)

a) wstaw za \(\displaystyle{ x}\) to do czego dąży i wyjdzie \(\displaystyle{ n}\)

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

granice funkcji

Post autor: Majeskas » 20 lip 2011, o 11:38

kas_olk pisze:w 1 nie rozumiem do końca dlaczego ma wyjść n
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 1} \frac{x^n-1}{x-1} = \lim_{ x \to 1} \left(x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+x+1 \right) =\underbrace{1^{n-1}+1^{n-2}+\ldots+1+1}_{n}=n}\)

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23173
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

granice funkcji

Post autor: piasek101 » 20 lip 2011, o 11:41

mizera03 pisze:b)
dobrze rozpisywałaś ale trzeba policzyć dwie granice (tak jak mówił Lorek).

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 3^{-} } \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x-9} = \frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 3^{+} } \frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x-9} = -\frac{1}{6}}\)

chyba dobrze policzyłem.
Coś tu namieszałeś.[edit] A już widzę - kwadrat w mianowniku zgubiłeś.

A co do liczenia z obu stron, dla mnie \(\displaystyle{ [3]=3}\) zatem w pierwszym poście jest ok.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

granice funkcji

Post autor: Majeskas » 20 lip 2011, o 12:29

Ale funkcja \(\displaystyle{ \left[ x\right]}\) jest nieciągła w punktach całkowitych, więc w pierwszym poście nie jest ok.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23173
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

granice funkcji

Post autor: piasek101 » 20 lip 2011, o 12:31

Zatem ja inaczej interpretuję zapis \(\displaystyle{ [x]}\).

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

granice funkcji

Post autor: Majeskas » 20 lip 2011, o 12:54

To nie jest kwestia interpretacji.

\(\displaystyle{ \forall k \in \mathbb{Z} \quad \lim_{x \to k^{-}} \left[ x\right]=k-1 \ \wedge \ \lim_{x \to k^{+}} \left[ x\right]=k}\)

Co wynika z definicji: \(\displaystyle{ \left[ x\right]= \sup \left\{ k \in \mathbb{Z}: \quad k \le x\right\}}\)

Przecież my tutaj liczymy granicę w 3. W prawostronnym otoczeniu tego punktu funkcja \(\displaystyle{ \left[ x\right]}\) przyjmuje wartości 3, a w lewostronnym 2. Jak w takim razie mogłaby istnieć w tym punkcie granica tej funkcji?-- 20 lipca 2011, 13:05 --Ja bym c) robił bez podstawienia:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt[3]{mx+1}-1 }{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\left(\sqrt[3]{mx+1}-1 \right)\left(\sqrt[3]{\left(mx+1 \right)^2 }+ \sqrt[3]{mx+1}+1 \right) }{x\left(\sqrt[3]{\left(mx+1 \right)^2 }+ \sqrt[3]{mx+1}+1 \right)}=}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{x \to 0} \frac{\left( \sqrt[3]{mx+1} \right)^3-1^3 }{x\left(\sqrt[3]{\left(mx+1 \right)^2 }+ \sqrt[3]{mx+1}+1 \right)}=\lim_{x \to 0} \frac{mx }{x\left(\sqrt[3]{\left(mx+1 \right)^2 }+ \sqrt[3]{mx+1}+1 \right)}=}\)


\(\displaystyle{ =\lim_{x \to 0} \frac{m }{\sqrt[3]{\left(mx+1 \right)^2 }+ \sqrt[3]{mx+1}+1}=\frac{m }{\sqrt[3]{\left(m \cdot 0+1 \right)^2 }+ \sqrt[3]{m \cdot 0+1}+1}= \frac{m}{3}}\)

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23173
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

granice funkcji

Post autor: piasek101 » 20 lip 2011, o 13:13

Tak masz rację - mój błąd (co do tego \(\displaystyle{ [x]}\)).

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

granice funkcji

Post autor: Majeskas » 20 lip 2011, o 15:24

kas_olk pisze:
w 2 odpowiedź jest -\(\displaystyle{ \infty}\)
Może ta granica miała być liczona w punkcie \(\displaystyle{ x_0=-3}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -3^-} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } \cdot \left( x-3\right) }{x^2-9}=\lim_{x \to -3^-} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } }{x+3}=\left\{ \frac{\left( -1\right)^2 }{0^-} \right\}=- \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -3^+} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } \cdot \left( x-3\right) }{x^2-9}=\lim_{x \to -3^+} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } }{x+3}=\left\{ \frac{\left( -1\right)^3 }{0^+} \right\}=- \infty}\)



\(\displaystyle{ \lim_{x \to -3^-} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } \cdot \left( x-3\right) }{x^2-9}=\lim_{x \to -3^+} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } \cdot \left( x-3\right) }{x^2-9}=- \infty}\)


W takim razie \(\displaystyle{ \lim_{x \to -3} \frac{\left( -1\right) ^{\left[ x\right] } \cdot \left( x-3\right) }{x^2-9}=- \infty}\)

kas_olk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 4 lip 2011, o 18:46
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków

granice funkcji

Post autor: kas_olk » 21 lip 2011, o 07:06

dziękuję bardzo wszystkim za pomoc

co do przykładu 3, na pewno jest w punkcie 3 widocznie jest błąd albo z przykładzie albo w odpowiedzi

ODPOWIEDZ