Matematyka.pl

mam taką całkę: \(\displaystyle{ \int\arctan xdx}\)

obliczam: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} u=\arctan x&dv=dx\\du= \frac{1}{1+ x^{2} } &v=x\\\end{bmatrix}}\)
dalej wychodzi:

\(\displaystyle{ x\arctan x - \int \frac{x}{ x^{2}+1 }}\) i podstawiając: \(\displaystyle{ t= x^{2}+1}\), \(\displaystyle{ dt=2xdx}\)

prawie ostatecznie: \(\displaystyle{ x\arctan x - \int \frac{dt}{2t}}\)

to jest równe: \(\displaystyle{ x\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left|x^{2}+1\right| + C}\)

Jednak sprawdzając przez różniczkowanie:

\(\displaystyle{ (x\arctan x)^\prime= \frac{x}{x^{2}+1} + \arctan x}\) oraz pochodna logarytmu jest równa \(\displaystyle{ \frac{-1}{2\left(1 + x^{2} \right)}}\)gdzie jest błąd?

w sprawdzeniu
\(\displaystyle{ \left( x \arctan x - \frac{1}{2}\ln \left|x^{2}+1 \right| \right)^\prime = \arctan x + \frac{x}{x^{2}+1} - \frac{1}{2\left( x^{2}+1\right) } 2x = \arctan x}\)

dzięki, jeszcze mam problem w tej całce:

\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{( x^{2}+1 )(x-1)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{( x^{2}+1 )(x-1)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{Bx}{ x^{2}+1 }}\) , stąd

\(\displaystyle{ x \equiv A( x^{2}+1 )+Bx(x-1)}\), zatem A + B =0, B= -1 i A = 0 co jest sprzeczne :/

dżi-unit pisze:\(\displaystyle{ \frac{x}{( x^{2}+1 )(x-1)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{Bx}{ x^{2}+1 }}\)

Powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{x}{( x^{2}+1 )(x-1)} =\frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{ x^{2}+1 }}\)

Q.

wow.
A może wiesz jak obliczyć tę całkę?

\(\displaystyle{ \int \frac{\sin(2x)}{1+ \sin^{2}x }dx}\)

\(\displaystyle{ \sin(2x)= 2\sin(x)\cos(x)}\)
Oraz podstawienie \(\displaystyle{ t= 1+\sin^{2}(x)}\)

ok. i jeszcze ostatnia:

\(\displaystyle{ \frac{-1}{2}\int \frac{(x-1)}{ x^{2}+1 }dx}\)

Rozkładasz na dwa ułamki proste, jedna wychodzi po podstawieniu, druga bezpośrednio.

wielkie dzięki