sprawdzenie całki

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

sprawdzenie całki

Post autor: dżi-unit » 9 lip 2011, o 23:44

mam taką całkę: \(\displaystyle{ \int\arctan xdx}\)

obliczam: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} u=\arctan x&dv=dx\\du= \frac{1}{1+ x^{2} } &v=x\\\end{bmatrix}}\)
dalej wychodzi:

\(\displaystyle{ x\arctan x - \int \frac{x}{ x^{2}+1 }}\) i podstawiając: \(\displaystyle{ t= x^{2}+1}\), \(\displaystyle{ dt=2xdx}\)

prawie ostatecznie: \(\displaystyle{ x\arctan x - \int \frac{dt}{2t}}\)

to jest równe: \(\displaystyle{ x\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left|x^{2}+1\right| + C}\)

Jednak sprawdzając przez różniczkowanie:

\(\displaystyle{ (x\arctan x)^\prime= \frac{x}{x^{2}+1} + \arctan x}\) oraz pochodna logarytmu jest równa \(\displaystyle{ \frac{-1}{2\left(1 + x^{2} \right)}}\)gdzie jest błąd?
Ostatnio zmieniony 10 lip 2011, o 00:33 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: proszę zapoznać się z punktem 2.7 instrukcji LaTeX-a, nie trzeba zapisywać całki nieoznaczonej jako \int_{}^{}, wystarczy \int

FilipSosna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 9 lip 2011, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 3 razy

sprawdzenie całki

Post autor: FilipSosna » 9 lip 2011, o 23:53

w sprawdzeniu
\(\displaystyle{ \left( x \arctan x - \frac{1}{2}\ln \left|x^{2}+1 \right| \right)^\prime = \arctan x + \frac{x}{x^{2}+1} - \frac{1}{2\left( x^{2}+1\right) } 2x = \arctan x}\)
Ostatnio zmieniony 10 lip 2011, o 00:34 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a

dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

sprawdzenie całki

Post autor: dżi-unit » 10 lip 2011, o 01:06

dzięki, jeszcze mam problem w tej całce:

\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{( x^{2}+1 )(x-1)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{( x^{2}+1 )(x-1)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{Bx}{ x^{2}+1 }}\) , stąd

\(\displaystyle{ x \equiv A( x^{2}+1 )+Bx(x-1)}\), zatem A + B =0, B= -1 i A = 0 co jest sprzeczne :/

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

sprawdzenie całki

Post autor: » 10 lip 2011, o 01:23

dżi-unit pisze:\(\displaystyle{ \frac{x}{( x^{2}+1 )(x-1)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{Bx}{ x^{2}+1 }}\)
Powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{x}{( x^{2}+1 )(x-1)} =\frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{ x^{2}+1 }}\)

Q.

dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

sprawdzenie całki

Post autor: dżi-unit » 10 lip 2011, o 02:09

wow.
A może wiesz jak obliczyć tę całkę?

\(\displaystyle{ \int \frac{\sin(2x)}{1+ \sin^{2}x }dx}\)
Ostatnio zmieniony 11 lip 2011, o 08:20 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: niepoprawny zapis funkcji

FilipSosna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 9 lip 2011, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 3 razy

sprawdzenie całki

Post autor: FilipSosna » 10 lip 2011, o 02:16

\(\displaystyle{ \sin(2x)= 2\sin(x)\cos(x)}\)
Oraz podstawienie \(\displaystyle{ t= 1+\sin^{2}(x)}\)

dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

sprawdzenie całki

Post autor: dżi-unit » 10 lip 2011, o 02:36

ok. i jeszcze ostatnia:

\(\displaystyle{ \frac{-1}{2}\int \frac{(x-1)}{ x^{2}+1 }dx}\)

FilipSosna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 9 lip 2011, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 3 razy

sprawdzenie całki

Post autor: FilipSosna » 10 lip 2011, o 02:56

Rozkładasz na dwa ułamki proste, jedna wychodzi po podstawieniu, druga bezpośrednio.

dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

sprawdzenie całki

Post autor: dżi-unit » 10 lip 2011, o 03:19

wielkie dzięki

ODPOWIEDZ