Matematyka.pl

Zbadać zbieżność całki niewłaściwej. Sformułować wykorzystane kryterium.

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{x \cdot \arc\tg x}{2x^2+1} \mbox{d}x}\)

Kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać. Kombinowałem coś z kryterium porównawczym, ale nic z tego nie wyszło, bo nie potrafię policzyć całki z \(\displaystyle{ \frac{\arc\tg x}{x}}\)

Z góry dzięki za pomoc

Arctg jest rosnący, ponadto \(\displaystyle{ \arctan (\tg 1)=1}\)
stąd otrzymujemy, że dla \(\displaystyle{ x\ge \tg 1}\) mamy \(\displaystyle{ \arctan x\ge 1}\)

I co w związku z tym? Bo pojęcia nie mam do czego zmierzasz.

Choćby do tego, że dla \(\displaystyle{ x\ge \tg 1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{x\arctan x}{2x^2+1}\ge \frac{x}{2x^2 +1}}\)
i teraz naszą całkę możemy rozbić:
\(\displaystyle{ \int_1^\infty=\int_1^{\tg 1}+\int_{\tg 1}^\infty}\)
Pierwsza jest oznaczona, więc nie wpływa na zbieżność, więc wystarczy zbadać tę drugą.