Zbadanie zbieżności całki niewłaściwej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
harnas136
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 28 cze 2011, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Zbadanie zbieżności całki niewłaściwej

Post autor: harnas136 » 28 cze 2011, o 21:21

Zbadać zbieżność całki niewłaściwej. Sformułować wykorzystane kryterium.

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{x \cdot \arc\tg x}{2x^2+1} \mbox{d}x}\)

Kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać. Kombinowałem coś z kryterium porównawczym, ale nic z tego nie wyszło, bo nie potrafię policzyć całki z \(\displaystyle{ \frac{\arc\tg x}{x}}\)

Z góry dzięki za pomoc
Ostatnio zmieniony 28 cze 2011, o 22:14 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Arcus tangens zapisuj \arc\tg lub \arctan. Znak mnożenia to \cdot.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zbadanie zbieżności całki niewłaściwej

Post autor: Lorek » 28 cze 2011, o 21:34

Arctg jest rosnący, ponadto \(\displaystyle{ \arctan (\tg 1)=1}\)
stąd otrzymujemy, że dla \(\displaystyle{ x\ge \tg 1}\) mamy \(\displaystyle{ \arctan x\ge 1}\)

harnas136
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 28 cze 2011, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Zbadanie zbieżności całki niewłaściwej

Post autor: harnas136 » 28 cze 2011, o 21:39

I co w związku z tym? Bo pojęcia nie mam do czego zmierzasz.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zbadanie zbieżności całki niewłaściwej

Post autor: Lorek » 28 cze 2011, o 21:44

Choćby do tego, że dla \(\displaystyle{ x\ge \tg 1}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{x\arctan x}{2x^2+1}\ge \frac{x}{2x^2 +1}}\)
i teraz naszą całkę możemy rozbić:
\(\displaystyle{ \int_1^\infty=\int_1^{\tg 1}+\int_{\tg 1}^\infty}\)
Pierwsza jest oznaczona, więc nie wpływa na zbieżność, więc wystarczy zbadać tę drugą.

ODPOWIEDZ