Szereg Fouriera, zbieżność
: 27 cze 2011, o 14:56
W zadaniu należy rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) w szereg Fouriera, a następnie zbadać jego zbieżność do \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ (-\pi,\pi)}\) a) punktową b)jednostajną
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} -1, -\pi<x<0 \\ 0, x=0 \\ 1, 0<x<\pi \end{cases}}\)
Po rozwinięciu wyszło mi, że
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(1 - (-1)^n)}{\pi n} \sin nx = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{\pi(2k-1)}\sin \left( (2k-1)x \right)}\)
Prosiłbym kogoś o pomoc w zbadaniu obu typów zbieżności, ponieważ nie wiem w jaki sposób się za to zabrać.
Pozdrawiam.
@edit:
Znalazłem takie twierdzenie:
Szereg Fouriera funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) przedziałami monotonicznej w przedziale \(\displaystyle{ [0, 2 \pi]}\) i okresowej o okresie \(\displaystyle{ 2\pi}\) jest wszędzie zbieżny.
To załatwia nam zbieżność punktową prawda? Co ze zbieżnością jednostajną?
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} -1, -\pi<x<0 \\ 0, x=0 \\ 1, 0<x<\pi \end{cases}}\)
Po rozwinięciu wyszło mi, że
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(1 - (-1)^n)}{\pi n} \sin nx = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{\pi(2k-1)}\sin \left( (2k-1)x \right)}\)
Prosiłbym kogoś o pomoc w zbadaniu obu typów zbieżności, ponieważ nie wiem w jaki sposób się za to zabrać.
Pozdrawiam.
@edit:
Znalazłem takie twierdzenie:
Szereg Fouriera funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) przedziałami monotonicznej w przedziale \(\displaystyle{ [0, 2 \pi]}\) i okresowej o okresie \(\displaystyle{ 2\pi}\) jest wszędzie zbieżny.
To załatwia nam zbieżność punktową prawda? Co ze zbieżnością jednostajną?