Szereg Fouriera, zbieżność

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Awatar użytkownika
porucznik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 214
Rejestracja: 18 lis 2010, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 13 razy

Szereg Fouriera, zbieżność

Post autor: porucznik » 27 cze 2011, o 14:56

W zadaniu należy rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) w szereg Fouriera, a następnie zbadać jego zbieżność do \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ (-\pi,\pi)}\) a) punktową b)jednostajną

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} -1, -\pi<x<0 \\ 0, x=0 \\ 1, 0<x<\pi \end{cases}}\)

Po rozwinięciu wyszło mi, że

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(1 - (-1)^n)}{\pi n} \sin nx = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{\pi(2k-1)}\sin \left( (2k-1)x \right)}\)

Prosiłbym kogoś o pomoc w zbadaniu obu typów zbieżności, ponieważ nie wiem w jaki sposób się za to zabrać.

Pozdrawiam.

@edit:

Znalazłem takie twierdzenie:

Szereg Fouriera funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) przedziałami monotonicznej w przedziale \(\displaystyle{ [0, 2 \pi]}\) i okresowej o okresie \(\displaystyle{ 2\pi}\) jest wszędzie zbieżny.

To załatwia nam zbieżność punktową prawda? Co ze zbieżnością jednostajną?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Szereg Fouriera, zbieżność

Post autor: luka52 » 28 cze 2011, o 10:35

porucznik pisze: Co ze zbieżnością jednostajną?
Funkcja graniczna nie jest ciągła, więc nie będzie to szereg zbieżny jednostajnie.

Awatar użytkownika
porucznik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 214
Rejestracja: 18 lis 2010, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 13 razy

Szereg Fouriera, zbieżność

Post autor: porucznik » 28 cze 2011, o 14:34

Dzięki!

ODPOWIEDZ