Matematyka.pl

\(\displaystyle{ F}\) jest przekształceniem liniowym z \(\displaystyle{ V}\) na \(\displaystyle{ W}\) (przestrzenie wektorowe) i w jadrze od f jest tylko \(\displaystyle{ \vec{0}}\).

\(\displaystyle{ \dim (Im(f)) = \dim (V)}\) ?
Od czego zacząć, żeby to pokazać?

Weź dowolną bazę \(\displaystyle{ V}\) i zobacz, że musi przejść na bazę \(\displaystyle{ Im(f) \equiv f(V)}\).

Chyba z równości:
\(\displaystyle{ dim \ker(f)+dim \ im(f) =dim \ V}\)

Starczy tak:

\(\displaystyle{ dim \ker(f)+dim \ im(f) =dim \ V}\)

a więc dla \(\displaystyle{ dim \ker(f) = dim 0 = 0}\)

jest: \(\displaystyle{ 0+dim \ im(f) =dim \ V}\)

a więc: \(\displaystyle{ dim \ im(f) =dim \ V}\)

Troche za proste mi się to wydaje...

Rozwiązanie tego zadania, zależy od tego co już znamy. Jeśli możesz korzystać z twierdzenia o zachowaniu wymiaru - to rozwiązanie jest ok.

To znaczy jest to o tyle niepoprawne, że chyba dowodzi się te twierdzenia w odwrotnej kolejności, więc jest to tak jakby "oszukiwanie". Tak jak liczenie granicy \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}}\) z reguły de l'Hospitala.

Jednak nie wolno tego użyć.
Bo właśnie tym zadaniem mam to udowodnić.

I nadalej nie wiem jak...

Dowód tego twierdzenia jest np. tutaj:

(str. 216-217)