Matematyka.pl

W \(\displaystyle{ n}\)-kącie foremnym (\(\displaystyle{ n \ge 4}\)) wybieramy losowo uporządkowaną czwórkę parami różnych wierzchołków (\(\displaystyle{ A, B, C, D}\)) (każdą z tym samym prawdopodobieństwem). Niech \(\displaystyle{ p_n}\) oznacza prawdopodobieństwo, że odcinki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się. Czy
a) ciąg (\(\displaystyle{ p_n}\)) ma granicę;
b) \(\displaystyle{ p_4= \frac{1}{2}}\);
c) \(\displaystyle{ p_5=p_7}\);
d) \(\displaystyle{ p_8>p_9}\)?

Czy mógłby ktoś pomóc z tym zadaniem?

Rozwiązanie sprytne, choć jak dla mnie to trochę naciągane (ale wynik się zgadza licząc innymi sposobami):
Wybieramy 4 wierzchołki - tym samym można z nich skonstruować czworokąt (zdaje się nawet wypukły). I stąd prawdopodobieństwo zajścia naszego zdarzenia jest równe prawdopodobieństwu zajścia takiego zdarzenia w czworokącie, a to już można policzyć nawet sprawdzając wszystkie przypadki.

Lorek pisze:choć jak dla mnie to trochę naciągane

Nie będzie naciągane, jeśli zastosujesz wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)=\sum_i\mathbb{P}(A|H_i)\mathbb{P}(H_i),}\)

gdzie \(\displaystyle{ H_i}\) oznaczają zdarzenia, że wybrano \(\displaystyle{ i}\)-ty w kolejności czworokąt. Jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A|H_i)=:p}\) jest takie samo dla każdego \(\displaystyle{ i}\), to można je wyłączyć przed znak sumy otrzymując

\(\displaystyle{ p\cdot\sum_i\mathbb{P}(H_i)=p\cdot1=p.}\)