n-kat foremny

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

n-kat foremny

Post autor: BlueSky » 24 cze 2011, o 11:58

W \(\displaystyle{ n}\)-kącie foremnym (\(\displaystyle{ n \ge 4}\)) wybieramy losowo uporządkowaną czwórkę parami różnych wierzchołków (\(\displaystyle{ A, B, C, D}\)) (każdą z tym samym prawdopodobieństwem). Niech \(\displaystyle{ p_n}\) oznacza prawdopodobieństwo, że odcinki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się. Czy
a) ciąg (\(\displaystyle{ p_n}\)) ma granicę;
b) \(\displaystyle{ p_4= \frac{1}{2}}\);
c) \(\displaystyle{ p_5=p_7}\);
d) \(\displaystyle{ p_8>p_9}\)?

Namarie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 5 lis 2008, o 21:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 5 razy

n-kat foremny

Post autor: Namarie » 30 maja 2012, o 15:50

Czy mógłby ktoś pomóc z tym zadaniem?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

n-kat foremny

Post autor: Lorek » 30 maja 2012, o 18:16

Rozwiązanie sprytne, choć jak dla mnie to trochę naciągane (ale wynik się zgadza licząc innymi sposobami):
Wybieramy 4 wierzchołki - tym samym można z nich skonstruować czworokąt (zdaje się nawet wypukły). I stąd prawdopodobieństwo zajścia naszego zdarzenia jest równe prawdopodobieństwu zajścia takiego zdarzenia w czworokącie, a to już można policzyć nawet sprawdzając wszystkie przypadki.

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

n-kat foremny

Post autor: norwimaj » 31 maja 2012, o 13:50

Lorek pisze:choć jak dla mnie to trochę naciągane
Nie będzie naciągane, jeśli zastosujesz wzór na prawdopodobieństwo całkowite.

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A)=\sum_i\mathbb{P}(A|H_i)\mathbb{P}(H_i),}\)

gdzie \(\displaystyle{ H_i}\) oznaczają zdarzenia, że wybrano \(\displaystyle{ i}\)-ty w kolejności czworokąt. Jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A|H_i)=:p}\) jest takie samo dla każdego \(\displaystyle{ i}\), to można je wyłączyć przed znak sumy otrzymując

\(\displaystyle{ p\cdot\sum_i\mathbb{P}(H_i)=p\cdot1=p.}\)

ODPOWIEDZ