Badanie różniczkowalności - problem z granicą
: 22 cze 2011, o 08:19
Witam, mam problem związany z wynikiem granicy, przy badaniu różniczkowa ln o ści.
Na pewnym etapie zadania mam do policzenia taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \frac{(h_1^2 + h_2^2)\sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } }{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} }}\)
Chciałem skorzystać z właśności, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}\), czyli napisałem:
\(\displaystyle{ \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \frac{1}{h_1^2 + h_2^2} \frac{(h_1^2 + h_2^2)\sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } }{ \frac{1}{\sqrt{h_1^2 + h_2^2}} } =1 (?)}\)
..i teraz widać, że cała granica powinna być 1, tak? Wyrażenia odpowiednie się skrócą i dos an i e się 1 -dobrze myślę?
Natomiast na ćwiczeniach tą granicę rozwiązali tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \frac{(h_1^2 + h_2^2)\sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } }{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } = \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \sqrt{h_1^2 + h_2^2} \sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } = 0}\)
Ja nie widzę w żadnych rozwiązaniach błędu jakiegoś dlatego proszę Was o jakąś pomoc, bo przecież dwa wyniki wyjść nie mogą
Pozdrawiam
Na pewnym etapie zadania mam do policzenia taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \frac{(h_1^2 + h_2^2)\sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } }{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} }}\)
Chciałem skorzystać z właśności, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}\), czyli napisałem:
\(\displaystyle{ \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \frac{1}{h_1^2 + h_2^2} \frac{(h_1^2 + h_2^2)\sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } }{ \frac{1}{\sqrt{h_1^2 + h_2^2}} } =1 (?)}\)
..i teraz widać, że cała granica powinna być 1, tak? Wyrażenia odpowiednie się skrócą i dos an i e się 1 -dobrze myślę?
Natomiast na ćwiczeniach tą granicę rozwiązali tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \frac{(h_1^2 + h_2^2)\sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } }{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } = \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \sqrt{h_1^2 + h_2^2} \sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } = 0}\)
Ja nie widzę w żadnych rozwiązaniach błędu jakiegoś dlatego proszę Was o jakąś pomoc, bo przecież dwa wyniki wyjść nie mogą
Pozdrawiam