Badanie różniczkowalności - problem z granicą

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Awatar użytkownika
kamilrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 31 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 5 razy

Badanie różniczkowalności - problem z granicą

Post autor: kamilrun » 22 cze 2011, o 08:19

Witam, mam problem związany z wynikiem granicy, przy badaniu różniczkowa ln o ści.

Na pewnym etapie zadania mam do policzenia taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \frac{(h_1^2 + h_2^2)\sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } }{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} }}\)

Chciałem skorzystać z właśności, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}\), czyli napisałem:
\(\displaystyle{ \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \frac{1}{h_1^2 + h_2^2} \frac{(h_1^2 + h_2^2)\sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } }{ \frac{1}{\sqrt{h_1^2 + h_2^2}} } =1 (?)}\)
..i teraz widać, że cała granica powinna być 1, tak? Wyrażenia odpowiednie się skrócą i dos an i e się 1 -dobrze myślę?



Natomiast na ćwiczeniach tą granicę rozwiązali tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \frac{(h_1^2 + h_2^2)\sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } }{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } = \lim_{ h_1 , h_2\to 0 } \sqrt{h_1^2 + h_2^2} \sin{ \frac{1}{ \sqrt{h_1^2 + h_2^2} } } = 0}\)



Ja nie widzę w żadnych rozwiązaniach błędu jakiegoś dlatego proszę Was o jakąś pomoc, bo przecież dwa wyniki wyjść nie mogą

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 22 cze 2011, o 09:02 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

pipol

Badanie różniczkowalności - problem z granicą

Post autor: pipol » 22 cze 2011, o 08:57

Zauważ, że gdy \(\displaystyle{ h_1 \rightarrow 0 \wedge h_2 \rightarrow 0}\) to wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{h_1^2 +h_2^2}} \rightarrow +\infty}\) a nie do zera, więc nie możesz skorzystać z granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 }\frac{\sin x}{x} .}\)

Awatar użytkownika
kamilrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 31 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 5 razy

Badanie różniczkowalności - problem z granicą

Post autor: kamilrun » 22 cze 2011, o 10:21

Aha, rozumiem już. Dzięki wielkie

ODPOWIEDZ