Matematyka.pl

Mam zadanie, w którym muszę udowodnić, że dla tak zdefiniowanej operacji
\(\displaystyle{ a \odot b = a + b + ab}\)
zachodzi prawo skreślne. To jest na liczbach rzeczywistych.

Z tego co mi wiadomo, aby udowodnić prawo skreślne, trzeba udowodnić:
\(\displaystyle{ a \cdot b = a \cdot c \implies b = c}\)

Czyli w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ a \odot b = a \odot c\\
a + b + ab = a + c + ac\\
b + ac = c + ac\\
b(a+1) = c(a+1)}\)

I co teraz? Przez (a+1) nie możemy podzielić, bo to może być zero. Czyli, dla a innych od -1, faktycznie b=c, ale dla a=-1 b i c jest dowolne, czyli z tego możemy wywnioskować, że dla tej operacji nie zachodzi prawo skreślne?

0 jest elementem neutralnym tego działania. W definicji prawa skreśleń zastrzega się że interesują nas elementy różne od neutralnego, tj. w tym wypadku zakładasz już na początku, że \(\displaystyle{ a\neq 0}\).

Czyli według ciebie ta operacja spełnia prawo skreśleń? Bo według mojego profesora nie

Nie rozumiem do końca o co chodzi w tym prawie skreślnym,ale np.:
\(\displaystyle{ 1 \odot 2 = 5\\
1 \odot 3 = 7}\)
Lewy argument taki sam, a inne wyniki... Ale to o to chodzi w tym? Bo nie mogę w necie nawet nigdzie znaleźć informacji o tym prawie skreślnym.

Czyli - według ciebie dla tej operacji zachodzi, czy nie zachodzi prawo skreślne?

No nie zachodzi bo np \(\displaystyle{ 1\neq 500}\) jak napisałem w poście wyżej.