[Liga 2007] Styczeń - I seria zadań
: 31 gru 2006, o 11:22
SERIA I - termin: 15 styczeń 2007r.
1. Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF. Rozważmy następujące stwierdzenia:
(1) bok AB jest równoległy do boku DE,
(2) bok BC jest równoległy do boku EF,
(3) bok CD jest równoległy do boku FA,
(4) AE = BD,
(5) BF = CE,
(6) CA = DF.
Pokazać, że jeżeli uznamy za prawdziwe dowolne 5 z wymienionych wyżej 6 warunków, to na sześciokącie ABCDEF można opisać okrąg.
2. Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ S}\), składający się z n elementów. Weźmy liczbę naturalną k. Niech \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}, A_{3}, ... , A_{k}}\) będą różnymi podzbiorami \(\displaystyle{ S}\). Dla i = 1,2,3,...k zbiór \(\displaystyle{ B_{i}}\) można zdefiniować na jeden z dwóch sposobów:
\(\displaystyle{ (B_{i}=A_{i}) \vee (B_{i} = S\setminus A_{i})}\)
Znajdź najmniejsze k, dla którego zawsze możemy wybrać takie \(\displaystyle{ B_{i}}\), że:
\(\displaystyle{ \bigcup\limits_{i=1}^{k} B_{i} = S}\)
3. Na płaszczyźnie dany jest trójkąt ABC o bokach długości:
\(\displaystyle{ |AB| = \sqrt{7}, \\ |BC| = \sqrt{13}, \\ |CA| = \sqrt{19}.}\)
Dane są również trzy okręgi:
\(\displaystyle{ O_{1}(A,\frac{2}{3}), \\ O_{2}(B,\frac{1}{3}), \\ O_{3}(C,1).}\)
Udowodnij, że istnieją takie punkty \(\displaystyle{ A', B', C'}\) leżące odpowiednio na okręgach: \(\displaystyle{ O_{1}, O_{2}, O_{3}}\), takie, że trójkąt ABC jest przystający do trójkąta A'B'C'.
----
Rozwiązania można przesyłać na PW do użytkownika Liga, lub na maila konkurs@matematyka.pl.