[Liga 2007] Styczeń - I seria zadań

Historia, regulamin, zadania i oceny Konkursów oraz Ligi prowadzonej na Forum.
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

[Liga 2007] Styczeń - I seria zadań

Post autor: Liga » 31 gru 2006, o 11:22

[u][size=150][b]
[center]SERIA I - termin: 15 styczeń 2007r.[/center]
[/b]
[/size]
[/u]


[size=150][b]1.[/b][/size] Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF. Rozważmy następujące stwierdzenia:

(1) bok AB jest równoległy do boku DE,
(2) bok BC jest równoległy do boku EF,
(3) bok CD jest równoległy do boku FA,
(4) AE = BD,
(5) BF = CE,
(6) CA = DF.

Pokazać, że jeżeli uznamy za prawdziwe dowolne 5 z wymienionych wyżej 6 warunków, to na sześciokącie ABCDEF można opisać okrąg.

[size=150]
[b]2.[/b][/size]
Rozważmy zbiór [latex]S[/latex], składający się z n elementów. Weźmy liczbę naturalną k. Niech [latex]A_{1}, A_{2}, A_{3}, ... , A_{k}[/latex] będą różnymi podzbiorami [latex]S[/latex]. Dla i = 1,2,3,...k zbiór [latex]B_{i}[/latex] można zdefiniować na jeden z dwóch sposobów:

[latex](B_{i}=A_{i}) \vee (B_{i} = S\setminus A_{i})[/latex]

Znajdź najmniejsze k, dla którego zawsze możemy wybrać takie [latex]B_{i}[/latex], że:

[latex]\bigcup\limits_{i=1}^{k} B_{i} = S[/latex]


[size=150][b]3.[/b][/size] Na płaszczyźnie dany jest trójkąt ABC o bokach długości:

[latex]|AB| = \sqrt{7}, \\ |BC| = \sqrt{13}, \\ |CA| = \sqrt{19}.[/latex]

Dane są również trzy okręgi:

[latex]O_{1}(A,\frac{2}{3}), \\ O_{2}(B,\frac{1}{3}), \\ O_{3}(C,1).[/latex]

Udowodnij, że istnieją takie punkty [latex]A', B', C'[/latex] leżące odpowiednio na okręgach: [latex]O_{1}, O_{2}, O_{3}[/latex], takie, że trójkąt ABC jest przystający do trójkąta A'B'C'.

----

Rozwiązania można przesyłać na PW do użytkownika [b]Liga[/b], lub na maila konkurs@matematyka.pl.
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2007, o 11:54 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

[Liga 2007] Styczeń - I seria zadań

Post autor: mol_ksiazkowy » 16 lut 2007, o 12:00

Aaaa kiedy zadanka za luty sie pojawia....?! plus rozw z tego miesiaca..

Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin

[Liga 2007] Styczeń - I seria zadań

Post autor: Arek » 18 lut 2007, o 07:29

Nie przypominam sobie zbyt wielu rozwiązań z tamtej serii, pomyślałem więc, że nie ma co kontynuować na siłę. Jeżeli chodzi o zadania ze stycznia, zadanie pierwsze pochodzi z finału krajowego Olimpiady Indyjskiej (2002r.), drugie natomiast z finału krajowego Olimpiady Brazylijskiej, trzecie - najtrudniejsze (moim zdaniem) pochodzi z China Team Selection Test 1992. Szczegóły rozwiązań w dwóch linkach podanych wyżej.

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

[Liga 2007] Styczeń - I seria zadań

Post autor: mol_ksiazkowy » 27 lut 2007, o 09:31

ano tak...zwykle jest sporo chetnych i niedługo potem ....jescze wieksza klapa.Prop. zrobic mini ankiete: nie biore udziału w lidze, ..... kłopoty z czasem.... zadania za trudne.... zwykle lenistwo.... pisanie rozwiazań czasochłonne .... tematyka mi "nie leży"..... inne.

MarcinT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra

[Liga 2007] Styczeń - I seria zadań

Post autor: MarcinT » 28 lut 2007, o 21:36

zadania były niezachęcające i tyle.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3707
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

[Liga 2007] Styczeń - I seria zadań

Post autor: arek1357 » 5 mar 2007, o 00:15

zrobiłem 2 gie ale nie mogę ruszyć 3 cie jestem ciekawy waszych opini na ten temat

Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin

[Liga 2007] Styczeń - I seria zadań

Post autor: Arek » 6 mar 2007, o 08:05

Pomiędzy zadaniem drugim i trzecim istnieje duża różnica poziomu trudności (moim zdaniem).

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

[Liga 2007] Styczeń - I seria zadań

Post autor: mol_ksiazkowy » 10 mar 2007, o 12:46

...cóz wg mnie nalezałoby nieco zmienic formułe konkursu..np na dziesiec zadań z czasem dwu miesiecznym na ich rozw. plus lepsza reklama, gdyz jak z tego wiadac sa osoby chetne i moze byc ich wiecej a wiec .....?...

MarcinT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra

[Liga 2007] Styczeń - I seria zadań

Post autor: MarcinT » 10 mar 2007, o 17:09

moim zdaniem to nie formuła konkursu jest zła, tylko dobór zadań i reklama.

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

[Liga 2007] Styczeń - I seria zadań

Post autor: mol_ksiazkowy » 4 kwie 2007, o 00:39

Marcin T napisał:
moim zdaniem to nie formuła konkursu jest zła, tylko dobór zadań i reklama.
hm coz a moim zdaniem zadnania serwowane były na ogół ciekawe, niektore nawet bardzo choc nie byly łatwe , reklama faktycznie ciut kulała....chyba idea na razie stanela w miejscu....?!

ODPOWIEDZ