Matematyka.pl

dlaczego \(\displaystyle{ \lim \frac{\sin x}{x}}\) gdy \(\displaystyle{ x}\) dązy do zera \(\displaystyle{ =1}\)?
Nie wiem jak to rozpisać Proszę o pomoc

\(\displaystyle{ \lim\limits_{x{\to}0}\frac{\sin x}{x}=\frac{\cos x}{1}=1}\)
Albo inaczej. \(\displaystyle{ \sin x}\) dla \(\displaystyle{ x}\)-a dążącego do zera także podąża do zera. Dla bardzo małego \(\displaystyle{ x}\)-a zarówno \(\displaystyle{ \sin x}\) jak i \(\displaystyle{ x}\) mają podobną wartość więc kiedy podzielimy \(\displaystyle{ \sin x}\) przez \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy jeden.

Rozwiązanie niespecjalnie poprawne.
JK

Tak w ramach ciekawostki powiem ze nigdy nie uzywajcie do policzenia tej granicy reguly "szpitala" poniewaz zeby wyprowadzic pochodna sinusa trzeba skorzystac wlasnie z tego ze \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}=1}\) krotko mowiac udowadniamy \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\) za pomoca pochodnej , ktora lciz ysie dzieki zalozeniu ze \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\) jest\(\displaystyle{ =1}\)

Jak to mowi moja ćwiczeniówka jest to po prostu nieprzyzwoite

Czyli ignotum per ignotum. Można to pokazać geometrycznie, ale jest też inny sposób. Być może na dniach wrzucę go do kompendium forum.

LecHu pisze:\(\displaystyle{ \lim\limits_{x{\to}0}\frac{\sin x}{x}=\frac{\cos x}{1}=1}\)

hm... z czego to niby wynika, dlaczego granica \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}=\lim \frac{\cos x}{1}}\)?

Ano bo zastosował karetkę. Tyle że przy obliczaniu pochodnej sinusa pojawia się to, co chce wyjściowo obliczyć, czyli \(\displaystyle{ \lim\limits_{x{\to}0}\frac{\sin x}{x}}\)

Zauważmy, że wystarczy rozpatrywać tylko dodatnie wartości x, bo
\(\displaystyle{ \frac{\sin{x}}{x} = \frac{\sin{(-x)}}{-x}}\)
Wiemy, że zachodzi:
\(\displaystyle{ \sin{x} \leq x \leq \tan{x}}\)
Dzieląc przez sin(x) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1 \leq \frac{x}{\sin{x}} \leq \frac{1}{\cos{x}}}\)
skąd, biorąc odwrotności, mamy:
\(\displaystyle{ \cos{x}\leq \frac{\sin{x}}{x}\leq 1}\)
Widać już, że gdy \(\displaystyle{ x \to 0}\), to \(\displaystyle{ \cos{x}=1}\), czyli dla \(\displaystyle{ x \to 0}\) mamy:
\(\displaystyle{ 1 \leq \frac{\sin{x}}{x} \leq 1}\)
Podsumowując:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x{\to}0}\frac{\sin x}{x}=1}\)

z reguły de L'Hospitala , ale w ten sposob nei mozesz tego udowanidac.(czytaj moj wczesniejszy post)

luka52 ==> Po pierwsze nierówności powinny być słabe a nie ostre, a po drugie z lekka Ci się te nierówności kopsły (w przeciwną stronę) ale to szczegół

DEXiu, w którym miejscu mają być nierówności w przeciwną stronę, bo nie widzę.

Ups. Fakt. Nadwzroczność ma Teraz jest ok.

Mnie by interesowała ta granica z Cauchy`ego jak jest policzona. Wie ktoś jak to oszacować?

Co do wyjściowej granicy - można się powołać na rozwinięcie sinusa w szereg Taylora (nawet Maclaurina).

[edit]Po wysłaniu zauważyłem, że wątek odgrzewany.

Z rozwinięcia w szereg to ja to potrafię zrobić, tylko jak z Cauchy`ego to można oszacować? Dochodzę do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ 0\leqslant\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|\leqslant\left|\frac{1-x}{x}\right|\leqslant\frac{1}{|x|}}\)

No i prawa strona niechybnie dąży do nieskończoności