Matematyka.pl

1) Na trójkącie opisano okrąg. Cięciwy łączące środek łuku AC ze środkami łuków AB i BC przecinają boki AB i AC w punktach D i E. Udowodnić, że DE przechodzi przez środek okręgu wpisanego w ABC.

2) Cztery proste tworzą na płaszczyźnie 4 trójkąty. Niech M będzie punktem wspólnym okręgów opisanych na tych trójkątach. Udowodnić, że środki okręgów opisanych na tych trójkątach znajdują się na jednym okręgu i punkt M też należy do tego okręgu.

3) Na czworokącie ABCD można opisać okrąg. Niech P będzie punktem symetrycznym do C względem AB, a Q punktem symetrycznym do C względem AD. Udowodnić, że PQ przechodzi przez ortocentrum trójkąta ABD.

W zad 1. Jest błąd w treści. "przecinają boki AB i AC w punktach " nie AB i AC tylko AB i BC.

Zadanie 3 jest to dość znany fakt o prostej Simsona, że ona przecina odcinek CH w połowie. Ta prosta z zadania to obraz prostej Simsona punktu C względem trójkąta ABD w jednokładności o skali 2 i środku w C.
Oczywiście, to nie jest rozwiązanie, o które chodziło autorowi, tylko powiedzenie, że to znany fakt .

Zad 1.