Matematyka.pl

Należy zbadać zbieżność takiego szeregu, próbowałem nie wychodzi mi.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n-1} }{2n}}\)

pomnóż licznik i mianownik przez:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n+1}+ \sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}+ \sqrt{n-1}}}\)

W liczniku będziesz miał wzór skróconego mnożenia.

tak, tak to wiem, tyle że nie wiem co dalej z tym zrobić właśnie

kryterium porównawcze?

Po wymnożeniu otrzymuje taki szereg, sugerujesz żebym zastosował kryterium porównawcze, no dobrze ale z czym to porównać?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1} {n \left(\sqrt{n+1}- \sqrt{n-1}\right) }}\)

W mianowniku pomiędzy pierwiastkami powinien być plus. Teraz można porównać z \(\displaystyle{ \frac{1}{n \sqrt{n}}.}\)

Czy zatem dobrze rozumiem?
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n \sqrt{n} }}\) jest szeregiem zbieżnym, bo jest to szereg Dirichleta \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ n^{ \alpha } }}\), który jest zbieżny dla \(\displaystyle{ \alpha >0}\), a w naszym przypadku \(\displaystyle{ \frac{1}{n \sqrt{n} }= \frac{1}{nn ^{ \frac{1}{2} } }= \frac{1}{n ^{1 \frac{1}{2} } }}\) ,\(\displaystyle{ 1 \frac{1}{2}= \alpha >1}\) i teraz kryterium porównawcze w postaci limesowej:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n \sqrt{n} } \cdot \frac{n( \sqrt{n+1}+ \sqrt{n-1} ) }{1}= \lim_{n \to \infty } \sqrt{1+ \frac{1}{n} }+ \sqrt{1- \frac{1}{n} }=2}\), 2>0, więc oba są zbieżne lub oba rozbieżne, czyli w tym przypadku zbieżne a więc badany zbieżny.

Proponowałbym typowe kryterium porównawcze.
Masz taki szereg po przekształceniach:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1} {n \left(\sqrt{n+1}+ \sqrt{n-1}\right) }}\)
\(\displaystyle{ \left(\sqrt{n+1}+ \sqrt{n-1}\right)>\sqrt{n}}\)
więc
\(\displaystyle{ \frac{1} {n \left(\sqrt{n+1}+ \sqrt{n-1}\right) }<\frac{1}{n\sqrt{n}}}\)
Więc jeśli drugi jest zbieżny to pierwszy tym bardziej.
Niestety nie słyszałem o kryterium, które Ty stosujesz. Ale z tego co tak patrzę, to też powinno być ok.

To kryterium polega na tym że jak masz dwa szeregi i jeden z nich jest zbieżny, albo rozbieżny - to wiesz, wybierasz sobie jakiś. A zatem liczysz granice an/bn jak jest dodatnia i skończona to oba są zbieżne albo oba rozbierzne.

To dopiero rozbieżność zasad ortografii - w jednym zdaniu! Dasio11