Matematyka.pl

a) \(\displaystyle{ R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{Z} , xRy \Leftrightarrow x^{3} =y^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ R \subseteq \mathcal{P}( \mathbb{N} ) \times \mathcal{P}( \mathbb{N} ), ARB \Leftrightarrow A \cup B = \mathbb{N}}\)
Bardzo bym prosił o przykładowe rozwiązanie, ponieważ za 2 dni mam egzamin, a to jedno z jego podstawowych zagadnień.

Wiesz, kiedy relacja jest funkcją?

JK

Wiem. Znam te dwa magiczne warunki. Wiem też, że te dwie relacje nie są funkcjami. Problem w tym, że zapis u mnie kuleję i miałbym spokojną głowę jeśli ktoś pokazałby mi sposób dobrego, formalnego zapisu.

podpunkt a) zrobiłbym następująco:
\(\displaystyle{ (x, y_{1}) \in R \wedge (x, y_{2}) \in R \Rightarrow y_{1} ^{2} = y_{2} ^{2}
\Leftrightarrow (y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2}) = 0
\Leftrightarrow y_{1} = y_{2} \vee y_{1} = - y_{2}}\) a ten drugi warunek nie spełnia warunku funkcji więc ta relacja nie jest funkcją. Dobrze?

Na podpunkt b) nie mam pomysłu.

Niezbyt. Jeżeli relacja nie jest funkcją, to trzeba podać kontrprzykład, czyli dwie pary o tym samym poprzedniku i różnych następnikach, np. w a):

Relacja \(\displaystyle{ R}\) nie jest funkcją, bo \(\displaystyle{ (1,1)\in R}\) i \(\displaystyle{ (1,-1)\in R}\), zatem warunek jednoznaczności nie jest spełniony.

W b) tak samo.

JK

Jan Kraszewski pisze:Niezbyt. Jeżeli relacja nie jest funkcją, to trzeba podać kontrprzykład, czyli dwie pary o tym samym poprzedniku i różnych następnikach....

To w jaki sposób udowodnić, jeżeli relacja jest funkcją?
np. dla relacji \(\displaystyle{ R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{Z} , xRy \Leftrightarrow x^{2} =y^{3}}\)

plancys pisze:To w jaki sposób udowodnić, jeżeli relacja jest funkcją?
np. dla relacji \(\displaystyle{ R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{Z} , xRy \Leftrightarrow x^{2} =y^{3}}\)

Z definicji - wtedy masz do czynienia z twierdzeniem ogólnym, czyli ustalasz dwie dowolne pary (o tym samym poprzedniku) \(\displaystyle{ (x,y_1),(x,y_2)\in R}\) i pokazujesz, że wtedy \(\displaystyle{ y_1=y_2}\). Np. w tym przypadku masz, że \(\displaystyle{ y_1^3=x^2=y_2^3}\), zatem \(\displaystyle{ y_1^3=y_2^3}\), zatem \(\displaystyle{ y_1=y_2}\) (bo możesz obustronnie wyciągnąć pierwiastek 3. stopnia).

JK