Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ p>2}\) będzie liczbą pierwszą oraz \(\displaystyle{ a,b \in Z}\). Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ a^{3} + b^{3}=0 (mod p)}\), to \(\displaystyle{ a+b=0 (mod p)}\).

Teza jest fałszywa. Przyjmij np \(\displaystyle{ p=7, a=1, b=5}\). Jest to prawdą dla \(\displaystyle{ p \equiv 2 \ (mod \ 3)}\). Lemat \(\displaystyle{ x^3 \equiv y^3 \ (mod \ p) \Rightarrow x \equiv y \ (mod \ p)}\) znajduje się w rozwiązaniu zadania 5 z finału ostatniej OM. Tutaj wystarczy go zastosować dla \(\displaystyle{ x=a, y=-b}\)