Matematyka.pl

Jak w temacie.
1.\(\displaystyle{ \int x*ln(1+x ^{2})dx}\)
Przy liczeniu przez części dochodzę do momentu, gdzie we wzorze mam taki twór \(\displaystyle{ \int \frac{x ^{3} }{1+x ^{2} }dx}\).
2. \(\displaystyle{ \int 6 ^{1-x}dx}\). Mogę podstawić 1-x=t, ale nic specjalnie mi to nie daje, bo nie wiem, co z tym dalej robić.
Z góry dzięki za pomoc.

1. Zajmę się tylko tą całką, do której doszedłeś i coś nie możesz rozwiązać.

\(\displaystyle{ \int \frac{x ^{3}}{1+x ^{2}}dx = \int \frac{(x^{2}+1)x - x}{1+x^{2}} dx = \int xdx - \int \frac{x}{1+x^{2}}dx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{x}{1+x^{2}}dx}\) podstawiasz \(\displaystyle{ \begin{cases}t=x^{2}+1 \\ dt = 2xdx\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2}ln|t| + C}\)

\(\displaystyle{ \int xdx = \frac{x^{2}}{2} + C}\)

To wyżej podstawiasz do pierwszego równania i gotowe

EDIT:

2.

\(\displaystyle{ \int 6^{1-x}dx}\) podstawiasz \(\displaystyle{ \begin{cases} t=1-x \\ dt=-dx\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \int 6^{1-x}dx = -\int 6^{t}dt = -\int e^{ln6^{t}} = -\int e^{t \cdot ln6} = -\frac{e^{t \cdot ln6}}{ln6} + C}\)

Jeszcze wypadałoby przekształcić ten licznik no i do poprzedniej zmiennej wrócić.

Dzięki. Na ten motyw z liczbą e bym nie wpadł.

Dzięki. Na ten motyw z liczbą e bym nie wpadł.

A po co na niego wpadać, skoro \(\displaystyle{ \int a^x \mbox{d}x}\) to całka "tablicowa".

Całka tablicowa, ale to nie znaczy, że nie można jej obliczyć?
Poza tym u mnie nie było tego wzorku na tablicy, a tak sobie mogę bez problemu z nim poradzić

Dokładnie. Ja chcę się nauczyć liczyć całki, a nie korzystać z tablic (które na kolokwium nie są dozwolone).