Matematyka.pl

I. Oblicz:\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=1} \frac{1}{ \sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } }}\)
II. Pokaż, że jeżeli \(\displaystyle{ p^{3} + q^{2} \ge 0}\) to liczba
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-q+ \sqrt{p^{3}+q^{2}} } + \sqrt[3]{-q- \sqrt{p^{3}+q^{2}} }}\) jest miejscem zerowym funkcji\(\displaystyle{ f(x) = x^{3} + 3px + 2q}\)
III.Oblicz: \(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=1} \frac{1}{(k+1) \sqrt{k} + k \sqrt{k+1} }}\)
IV.Zbadaj liczbe rozwiazan rownania\(\displaystyle{ \left| x-1 \right| + \left| x-2\right| + \left| x-3\right| + ... \left| x-(2k+1)\right| = m}\)
W zaleznosci od parametrow \(\displaystyle{ m \in R i k \in N}\)
V.Zbadaj liczbe rozwiazan ukladu\(\displaystyle{ \begin{cases} \left|x+y \right| + \left| x-y\right| = 4 \\ \left| x-1 \right| + \left| y\right| =a \end{cases}}\)
W zaleznosci od parametru\(\displaystyle{ a \in R}\)

2. Podstaw to coś za iksa i zobacz, czy to wyrażenie się zeruje

1)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } }= \sum_{k=1 }^{n} \left(\frac{1}{ \sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } } \cdot \frac{\sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } }{\sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } } \right)= \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } }{k+ \sqrt{k ^{2}-1}}= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{\sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } }{k+ \sqrt{k ^{2}-1}} \cdot \frac{ k- \sqrt{k ^{2}-1}}{k- \sqrt{k ^{2}-1}} \right)= \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } \cdot \left( k- \sqrt{k ^{2}-1}\right)}{k^2-k^2+1}= \sum_{k=1}^{n}\sqrt{k+ \sqrt{k ^{2}-1 } } \cdot \left( k- \sqrt{k ^{2}-1}\right)= \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\left(k+ \sqrt{k ^{2}-1 }\right)\left(k- \sqrt{k ^{2}-1 }\right)^2}= \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\left(k+ \sqrt{k ^{2}-1 }\right)\left(k- \sqrt{k ^{2}-1 }\right)\left(k- \sqrt{k ^{2}-1 }\right)}= \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\left(k^2-k^2+1\right)\left(k- \sqrt{k ^{2}-1 }\right)}= \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k- \sqrt{k^2-1} }=\ldots}\)

@timon92 przejrzyściej będzie bez sprawdzania:

2:

Pozdrawiam.

4 i 5 skojarzyło mi się z tematem wszechczasów na mathlinksie ... 92&start=0

3. \(\displaystyle{ \frac{1}{(k+1) \sqrt{k} + k \sqrt{k+1} }= \frac{1}{ \sqrt{k} } - \frac{1}{ \sqrt{k+1} }}\)

Matematyka.pl

[MIX] Wymierność i wartość bezwzględna

[MIX] Wymierność i wartość bezwzględna

[MIX] Wymierność i wartość bezwzględna

[MIX] Wymierność i wartość bezwzględna

[MIX] Wymierność i wartość bezwzględna

[MIX] Wymierność i wartość bezwzględna

[MIX] Wymierność i wartość bezwzględna