Matematyka.pl

Chodzi mi konkretnie o przykład:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}n[ln(n)-ln(n+2)]}\)

Stosując regułę otrzymuję wynik -2, czyli taki jak mam w odpowiedzi z tyłu książki. A może da się to jakoś inaczej zrobić?

Ok, wpadłem już na pomysł:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}[ln\frac{n}{n+2}]^n=\lim\limits_{n\to\infty}ln\frac{1}{(1+\frac{2}{n})^n}}\)
i dalej z liczby e. Wynik ten sam co z de l'Hospitala czyli -2. Więc można czy nie można stosować. Proszę o odpowiedź. Dziękuję.

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}[ln\frac{n}{n+2}]^n=\lim\limits_{n\to\infty}ln\frac{1}{(1+\frac{2}{n})^n}}\)

ciekawe przeksztalcenie ~_^

ogolnie mowiac zeby zastosowac d'hospitala to musza byc spelnione nastepujace warunki
licznik i mianownik daza do zera lub do nieskonczonosci lub jeden do zera a drugi do nieskonczonosci a noi jak ci nie wyjdzie nic z d'hospitala to to nie znaczy ze ciag nie ma granicy

greey10 pisze:

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}[ln\frac{n}{n+2}]^n=\lim\limits_{n\to\infty}ln\frac{1}{(1+\frac{2}{n})^n}}\)

ciekawe przeksztalcenie ~_^

ogolnie mowiac zeby zastosowac d'hospitala to musza byc spelnione nastepujace warunki
licznik i mianownik daza do zera lub do nieskonczonosci lub jeden do zera a drugi do nieskonczonosci a noi jak ci nie wyjdzie nic z d'hospitala to to nie znaczy ze ciag nie ma granicy

Ciekawe, nieciekawe ale poprawne . Co to znaczy jak mi nic nie wyjdzie?? . Jeżeli po policzeniu pochodnych dalej mamy symbol nieoznaczony to można dalej próbować .

Hm ... de l'Hospitala do ciągów ? Nie można

Dlaczego ? Ciąg to też funkcja. Wiesz, z granicami to jest tak, że jak masz lim przy n dążącym do nieskończoności 1/n i lim x dążącym do nieskończoności 1/x to granica jest taka sama. W tym przykładzie zastosowałem de l'Hospitala i granica o zdziwko wychodzi ta sama .

Możesz stosować tę regułę, jeśli zdefiniujesz odpowiednią funkcję. Tj. taka sztuczka, aby móc zastosować regułę dla ciągu

Dziękuję, za rzeczową odpowiedź.