Matematyka.pl

witajcie,

zastanawiam się jak dowodząc niewprost (założeniową) sprawdzić tautologiczność nastepującego zdania, jednakże nie rozpatrując osobno wszystkich przypadków koniunkcji.

\(\displaystyle{ [(p \vee q) \Rightarrow r] \Rightarrow [p \Rightarrow (q \wedge r)]}\)

Ponadto jezeli ktos jest w stanie podać mi ze 2 inne przykłady do przećwiczenia tego "chwytu" o ktory tutaj chodzi, to będę wdzięczny:)

pozdrawiam

To zdanie nie jest tautologią (\(\displaystyle{ p=r=1, q=0}\)).

JK

Nie takie jest moje pytanie, udowodnić to umiem, chciałbym jednak to zrobić nie rozpisując na przypadki koniunkcji w następniku, tj:

Zał, ze zdanie jest fałszywe

wtedy: poprzednik ma wartość logiczną 1, następnik ma wartość logiczną 0
Następnie rozpatrujemy następnik, który również jest implikacją, z czego wynika, że:
p=1, a q i r =0. Koniunkcja jest nieprawdziwa w trzech przypadkach jak powszechnie wiadomo.

Jak zrobic to tą metodą bez rozpatrywania przypadków w tym miejscu dowodu?

Np. tak:

Skoro \(\displaystyle{ p=1}\), to \(\displaystyle{ p\lor q=1}\). Ale z założenia\(\displaystyle{ p\lor q \Rightarrow r}\) też jest prawdą, więc musi być \(\displaystyle{ r=1}\). Teraz wracasz do następnika i zauważasz, że musi być \(\displaystyle{ q=0}\). Pozostaje sprawdzić, że \(\displaystyle{ p=r=1, q=0}\) to dobry kontrprzykład.

JK

Jan Kraszewski, a co powiesz na pomysł z założeniem że \(\displaystyle{ q \wedge r}\) ma wartość logiczną 1? Wtedy q=1 oraz r=1, a poprzednik głównej implikacji jest prawdziwy, i w związku z tym... no właśnie nie wiem co

e-km pisze:Jan Kraszewski, a co powiesz na pomysł z założeniem że \(\displaystyle{ q \wedge r}\) ma wartość logiczną 1?

A na jakiej podstawie chcesz tak założyć? Widzisz, to nie jest tak, że można sobie zakładać, co się żywnie podoba...

JK

dowód nie wprost w dowodzie niewprost. Twoja metoda wymaga i tak przypadków, stąd moje drążenie

Moja metoda nie wymaga żadnych przypadków, a Twoja jest niepoprawna - to nie jest żaden dowód nie wprost w dowodzie nie wprost. Nie możesz założyć, że \(\displaystyle{ q\land r=1}\), skoro otrzymałeś w wyniku rozumowania, że \(\displaystyle{ q\land r=0}\).

JK

Rozwiń proszę w takim razie swój sposób, być moze po prostu nie łapię. Uzasadnij zwłaszcza pierwszy krok z alternatywą proszę:)

Sposób polega na tym, ze gdy w trakcie rozumowania dostajemy informację o wartości logicznej którejś zmiennej zdaniowej (w tym przypadku \(\displaystyle{ p=1}\)), to podstawiamy ją w innych miejscach, gdzie występuje ta zmienna (w tym przypadku podstawiamy \(\displaystyle{ p=1}\) do alternatywy \(\displaystyle{ p\lor q}\), skąd dowiadujemy się, że ta alternatywa musi być prawdziwa).

Do tego usprawniamy nasze rozumowanie, wyciągając proste wnioski (ale nieco mniej oczywiste niż wnioski z fałszywości implikacji). W tym przypadku zauważamy, że skoro implikacja \(\displaystyle{ p\lor q \Rightarrow r}\) jest prawdziwa (wniosek z zał. nie wprost) i jej poprzednik jest prawdziwy, to jej następnik też musi być prawdziwy. I tak dalej...

Zerknij też tutaj.

JK

dziękuję bardzo za solidne wytlumaczenie!