Matematyka.pl

1. Znajdź trójki liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) takie że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-b \equiv 0 (\bmod{c}) \\ b-c \equiv 0 (\bmod{a}) \\ c-a \equiv 0 (\bmod{b}). \end{cases}}\)
2. Niech dane bedzie \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_1<a_2<...<a_n<2n}\), takich że najmniejsza wspólna wielokrotność każdych dwóch spośród nich jest większa od \(\displaystyle{ 2n}\). Udowodnić, że wszystkie te liczby są większe od \(\displaystyle{ \left[ \frac{2n}{3}\right] }\).
3. Rozstrzygnąc czy istnieje skończona (czy też nie) ilość rozwiązań równania
\(\displaystyle{ a^c-b^c=2^{100},}\)
gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) są to liczby naturalne. Dać przykład takiego rozwiązania.
4. Diofantos. Wykaż iż równanie
\(\displaystyle{ 32^y=17^z-15^x}\)
ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb naturalnych (tj. \(\displaystyle{ x,y,z \in \NN}\)).
5. a) Czy to prawda czy fałsz: Jeśli ciagi \(\displaystyle{ a, b, c}\) i \(\displaystyle{ b^2, a^2, c^2}\) są arytmetyczne, to musza być stałe.
b) Czy to prawda czy fałsz: Jeśli ciagi \(\displaystyle{ a, b, c}\) i \(\displaystyle{ a^2, b^2, c^2}\) są arytmetyczne, to musza być stałe.
c) Czy to prawda czy fałsz: Jeśli ciagi \(\displaystyle{ a, b, c}\) i \(\displaystyle{ a^3, b^3, c^3}\) są arytmetyczne, to musza być stałe.
6. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ p=a^2+b^2+c^2+1}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są to liczby całkowite.
7. Przedstaw liczbę \(\displaystyle{ n=20}\) w postaci sumy \(\displaystyle{ n=\sum_{j} a_j}\) pewnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_j}\) (niekoniecznie parami różnych) tak, aby ich iloczyn był możliwie największy. Wybór uzasadnij.
8. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele par \(\displaystyle{ (x,y)}\), liczb naturalnych spełniających równanie
\(\displaystyle{ 3x(1+2x)=2y(y-1).}\)
9. a) Na ile róznych sposobów można przedstawić liczbę \(\displaystyle{ m=2720}\) w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych? Podaj ten rozkład, w którym jeden ze składników jest możliwie największy.
b) Czy liczbę \(\displaystyle{ d=2010}\) można przedstawić w postaci sumy sześcianów dwóch liczb całkowitych ?
10. Trzy sumy, oblicz
a) \(\displaystyle{ \mu(n)\mu(n+1) \mu(n+2) \mu(n+3)}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \mu(j!)}\)
c) \(\displaystyle{ \sum_{d|n} \mu(d)d,}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mu}\) jest funkcją Mobiusa.

jasne, już poprawiłem.

ad 9

6.

ad 9.b)

Zad 5.
Ad 5) jeszcze

ad 3

1. (PO ERRACIE)

Inkwizytor pisze:1.

Ukryta treść:    

Troche tak nietypowo
\(\displaystyle{ \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} b-c \equiv 0 \ (\bmod a) \\c-a \equiv 0 \ (\bmod b) \\ a-b \equiv 0 \ (\bmod c) \end{array}\right.}\)
Z oczywistych względów szukamy \(\displaystyle{ a,b,c}\) całkowitych dodatnich.

Z chińskiego twierdzenia o resztach wynika że:
1) z pierwszej kongruencji
Istnieją takie dodatnie całkowite \(\displaystyle{ t_1 , l_1}\) oraz takie nieujemne \(\displaystyle{ r_1}\) że:
\(\displaystyle{ b=a \cdot l_1 +r_1 \\
c=a \cdot t_1 +r_1}\)

2) z drugiej kongruencji
Istnieją takie dodatnie całkowite \(\displaystyle{ t_2 , k_2}\) oraz takie nieujemne \(\displaystyle{ r_2}\) że:
\(\displaystyle{ a=b \cdot k_2 +r_2 \\
c=b \cdot t_2 +r_2}\)

3) z trzeciej kongruencji
Istnieją takie dodatnie całkowite \(\displaystyle{ l_3 , k_3}\) oraz takie nieujemne \(\displaystyle{ r_3}\) że:
\(\displaystyle{ a=c \cdot k_3 +r_3 \\
b=c \cdot t_3 +r_3}\)
------------------------------------------------------------------------------
Rozwiązanie
\(\displaystyle{ a=c \cdot k_3 +r_3 = (a \cdot t_1 +r_1) \cdot k_3 +r_3 = at_1k_3 + k_3r_1 +r_3}\)
stąd:
\(\displaystyle{ 0 = at_1k_3 - a + k_3r_1 +r_3 \\
0 = a(t_1k_3 - 1) + k_3r_1 +r_3}\)
i teraz lewa strona jest zerem. Aby prawa była zerem to każdy ze składników sumy musi być zerem gdyż ze względu na założenia każda "literka" jest co najmniej nieujemna. Aby suma składników nieujemny była równa zero, to każdy z nich musi być równy zero.
\(\displaystyle{ a(t_1k_3 - 1) = 0 \\
k_3r_1 = 0 \\
r_3 = 0}\)
ponieważ \(\displaystyle{ a>0}\) to \(\displaystyle{ t_1k_3 - 1 = 0}\) ponieważ \(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ k_3}\) całkowite dodatnie to \(\displaystyle{ t_1= 1}\) i \(\displaystyle{ k_3 = 1}\) stąd też wynika że \(\displaystyle{ r_1=0}\)
Po podstawieniu w odpowiednie miejsca wychodzi że a=c
-----------------------------------------------------------------------
Analogicznie rozpisujemy
\(\displaystyle{ b=a \cdot l_1 +r_1 = (b \cdot k_2 +r_2) \cdot l_1 +r_1}\)
i postępujemy dokładnie tak samo aż wyjdzie nam a=b

Czyli w końcowym rozrachunku \(\displaystyle{ a=b=c}\)}\)

1.Dla dodatnich a,b,c

ad 1

ad 1