[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6169
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2551 razy
Pomógł: 673 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: mol_ksiazkowy » 29 sie 2010, o 12:03

1. Znajdź trójki liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) takie że:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a-b \equiv 0 \ (mod \ c) \\b-c \equiv 0 \ (mod \ a) \\c-a \equiv 0 \ (mod \ b) \end{array}}\)
2.Niech dane bedzie \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_1<a_2<...<a_n<2n}\), takich że najmniejsza wspólna wielokrotność każdych dwóch spośród nich jest większa od \(\displaystyle{ 2n}\). Udowodnić, że wszystkie te liczby są większe od \(\displaystyle{ [\frac{2n}{3}]}\)
3.Rozstrzygnąc czy istnieje skończona (czy też nie) ilość rozwiązań równania
\(\displaystyle{ a^c-b^c=2^{100}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) są to liczby naturalne. Dać przykład takiego rozwiązania
4.Diofantos. Wykaż iż równanie
\(\displaystyle{ 32^y=17^z-15^x}\)
ma dokładnie jedno rozwiązanie w zbiorze liczb naturalnych (tj. \(\displaystyle{ x,y,z \in N}\))
5. a) Czy to prawda czy fałsz: Jeśli ciagi \(\displaystyle{ a, b, c}\) i \(\displaystyle{ b^2, a^2, c^2}\) są arytmetyczne, to musza być stałe.
b) Czy to prawda czy fałsz: Jeśli ciagi \(\displaystyle{ a, b, c}\) i \(\displaystyle{ a^2, b^2, c^2}\) są arytmetyczne, to musza być stałe.
c) Czy to prawda czy fałsz: Jeśli ciagi \(\displaystyle{ a, b, c}\) i \(\displaystyle{ a^3, b^3, c^3}\) są arytmetyczne, to musza być stałe.
6.Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ p=a^2+b^2+c^2+1}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są to liczby całkowite
7. Przedstaw liczbę \(\displaystyle{ n=20}\) w postaci sumy \(\displaystyle{ n=\sum_{j} a_j}\) pewnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_j}\) (niekoniecznie parami różnych) tak aby ich iloczyn był możliwie największy. Wybór uzasadnij
8. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele par \(\displaystyle{ (x,y)}\), liczb naturalnych spełniających równanie
\(\displaystyle{ 3x(1+2x)=2y(y-1)}\)
9 .a) Na ile róznych sposobów można przedstawić liczbę \(\displaystyle{ m=2720}\) w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych ?Podaj ten rozkład w ktorym jeden ze składników jest możliwie najwiekszy
b) Czy liczbę \(\displaystyle{ d=2010}\) można przedstawić w postaci sumy sześcianów dwóch liczb całkowitych ?
10. trzy sumy, oblicz
a)\(\displaystyle{ \mu(n)\mu(n+1) \mu(n+2) \mu(n+3)}\)
b)\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \mu(j!)}\)
c) \(\displaystyle{ \sum_{d|n} \mu(d)d}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mu}\) jest funkcja Mobiusa

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: Swistak » 29 sie 2010, o 14:40

7:    

Citizen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 284
Rejestracja: 27 maja 2009, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 36 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: Citizen » 29 sie 2010, o 18:29

5:    
Ostatnio zmieniony 29 sie 2010, o 21:52 przez Citizen, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6169
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2551 razy
Pomógł: 673 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: mol_ksiazkowy » 29 sie 2010, o 19:41

Ukryta treść:    

Citizen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 284
Rejestracja: 27 maja 2009, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 36 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: Citizen » 29 sie 2010, o 21:52

jasne, już poprawiłem.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6169
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2551 razy
Pomógł: 673 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: mol_ksiazkowy » 31 sie 2010, o 13:44

ad 9
Ukryta treść:    

waral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 14 sty 2009, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Katowice
Pomógł: 3 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: waral » 31 sie 2010, o 14:15

6.
Ukryta treść:    

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: kaszubki » 31 sie 2010, o 14:31

ad 9.b)
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: Swistak » 31 sie 2010, o 15:35

3a:    

Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 427 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: Inkwizytor » 31 sie 2010, o 16:44

Zad 5.
Ukryta treść:    
Ad 5) jeszcze
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6169
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2551 razy
Pomógł: 673 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: mol_ksiazkowy » 31 sie 2010, o 17:46

ad 3
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 427 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: Inkwizytor » 31 sie 2010, o 21:56

1. (PO ERRACIE)
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 1 wrz 2010, o 08:59 przez Inkwizytor, łącznie zmieniany 2 razy.

waral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 14 sty 2009, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Katowice
Pomógł: 3 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: waral » 31 sie 2010, o 22:30

Inkwizytor pisze:1.
Ukryta treść:    
Ukryta treść:    
1.Dla dodatnich a,b,c
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 31 sie 2010, o 22:43 przez waral, łącznie zmieniany 4 razy.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6169
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2551 razy
Pomógł: 673 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: mol_ksiazkowy » 31 sie 2010, o 22:37

ad 1
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 756
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 84 razy

[MIX][Teoria liczb] mały mix z teorii liczb

Post autor: Elvis » 1 wrz 2010, o 14:24

ad 1
Ukryta treść:    
Zadanie 10:    

ODPOWIEDZ