Matematyka.pl

Często w liczeniu granic pojawia się sugestia:

Pomnóż przez sprzężenie

Chodzi o skorzystanie z tego wzoru:

\(\displaystyle{ a-b= \frac{a ^{2}-b ^{2} }{a+b}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (\sqrt{ n^{2} +2n-1} -n )=...}\)

\(\displaystyle{ a=\sqrt{ n^{2} +2n-1}}\)

\(\displaystyle{ b=n}\)

\(\displaystyle{ a ^{2} = n^{2} +2n-1}\)

\(\displaystyle{ b ^{2}=n ^{2}}\)

Korzystamy zatem z naszego wzoru

\(\displaystyle{ ...=\lim_{n \to \infty } \frac{ n^{2} +2n-1-n ^{2} }{\sqrt{ n^{2} +2n-1}+n}}\)

I dalej liczymy granicę.



Liczymy granicę takiego ciągu:

\(\displaystyle{ a_{n}=n^{3}- \sqrt{n^{6}-5n^{3}}}\)

\(\displaystyle{ a=n^{3}}\)

\(\displaystyle{ b=\sqrt{n^{6}-5n^{3}}}\)

\(\displaystyle{ a ^{2} =n^{6}}\)

\(\displaystyle{ b ^{2} = n^{6}-5n^{3}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } a_{n}= \lim_{ n \to \infty } \frac{n^{6}-(n^{6}-5n^{3}) }{n^{3}+ \sqrt{n^{6}-5n^{3}}} =\lim_{ n \to \infty } \frac{n^{6}- n^{6}+5n^{3} }{n^{3}+ \sqrt{n^{6}-5n^{3}}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{ 5n^{3} }{n^{3}+ \sqrt{n^{6}-5n^{3}}}}\)


Liczymy granicę dzieląc licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n ^{3}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sqrt[3]{n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 } -n=...}\)

Wzór:

\(\displaystyle{ (a-b)= \frac{a^{3}-b^{3}}{(a^{2}+ab+b^{2})}}\)

\(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 }}\)

\(\displaystyle{ b=n}\)

\(\displaystyle{ a ^{3} = n ^{3}+ 5n ^{2} + 6}\)

\(\displaystyle{ b ^{3} =n ^{3}}\)

\(\displaystyle{ a^{2}=\sqrt[3]{(n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 ) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ a \cdot b =\sqrt[3]{ n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 } \cdot n}\)

\(\displaystyle{ b ^{2} =n ^{2}}\)

\(\displaystyle{ ...= \lim_{ n \to \infty } \frac{ n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 -n ^{3} }{\sqrt[3]{(n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 ) ^{2} }+ \sqrt[3]{ n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 } \cdot n + n ^{2} }=\\ = \lim_{ n \to \infty } \frac{ 5n ^{2} + 6 }{ \sqrt[3]{(n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 )(n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 ) } +n \cdot \sqrt[3]{n ^{3}( 1+ \frac{5}{n} + \frac{6}{n ^{3} } ) } + n ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{3}( 1+ \frac{5}{n} + \frac{6}{n ^{3} } ) }= n \cdot \sqrt[3]{ ( 1+ \frac{5}{n} + \frac{6}{n ^{3} } ) }}\)

W pierwszym pierwiastku mnożymy to co jest pod pierwiastkiem i robimy to samo co w drugim pierwiastku. Licznik i mianownik dzielimy przez \(\displaystyle{ n ^{2}}\)



\(\displaystyle{ \lim_{n \to 0} \frac{ \sqrt{n ^{2} +1} -1}{ \sqrt{n ^{2} +25} -5}=\lim_{n \to 0} \frac{ \sqrt{n ^{2} +1} -1}{ \sqrt{n ^{2} +25} -5} \cdot \frac{ \sqrt{n ^{2} +1} +1}{ \sqrt{n ^{2} +1} +1} \cdot \frac{\sqrt{n ^{2} +25} +5}{\sqrt{n ^{2} +25}+5}=\\ \\=\lim_{n \to 0} \frac{ n ^{2} +1 -1 }{ n ^{2} +25 -25} \cdot \frac{ 1 }{ \sqrt{n ^{2} +1} +1} \cdot \frac{\sqrt{n ^{2} +25} +5}{1}=\lim_{n \to 0} \frac{ n ^{2} }{ n ^{2} } \cdot \frac{ \sqrt{n ^{2} +25} +5 }{ \sqrt{n ^{2} +1} +1} =\\= \lim_{n \to 0} \cdot \frac{ \sqrt{n ^{2} +25} +5 }{ \sqrt{n ^{2} +1} +1}= \frac{ \sqrt{0 ^{2} +25} +5 }{ \sqrt{0 ^{2} +1} +1}=...}\)

Zostają proste rachunki

cdn Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać do mnie PW. Jak
wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )